WisFaq!

Aan water wordt suiker toegevoegd. De suiker lost langzaam op: van de suiker die er op een bepaald moment nog over is, lost in de volgende minuut 20% op. Om 12.00 uur is 125 gram suiker over. Het aantal gram suiker dat er t minuten na 12.00 uur over is noemen we A(t).
a. Wat is de groeifactor per minuut van de hoeveelheid suiker die over is?
b. Geef een formule voor A(t).
c. Hoeveel gram suiker was er 2 minuten voor 12.00 uur over?
d. Door het water te verwarmen lost de suiker sneller op: na 3 minuten is dan al 80% opgelost. Wat is nu de (exacte) groeifactor per minuut?
Keo
8-1-2025

Antwoord

Hallo Keo,

Zoals je in de spelregels kunt lezen, is het niet de bedoeling dat je 'zomaar' een vraag bij ons neerlegt en hoopt dat wij deze voor je beantwoorden. In plaats daarvan vragen we je om te laten zien wat je al wel begrijpt, of tot hoever je gekomen bent, of aangeeft waarom je niet verder kunt.
Ik ga ervan uit dat je niet weet hoe je de vraag aanpakt. Ik help je een stukje op weg. Als je er dan nog niet uitkomt, mag je gerust een vervolgvraag stellen, maar geef dan wel aan wat je hebt geprobeerd.

Vraag a:
Per minuut lost 20% op. Er is dan nog over: 100%-20%=80%. Kijk eens op Rekenen met procenten en groeifactoren, "Van percentage naar groeifactor". Hier vind je een rekenvoorbeeld om van percentge naar groeifactor te komen. Lukt het jou met jouw gegevens?

Vraag b:
De algemene formule voor exponentiële groei is: A = b·g^t
Hierin is b de beginwaarde van A (d.w.z.: de waarde van A bij t=0) en g is de groeifactor. De beginwaarde is genoemd in de tekst van de opgave. De groeifactor heb je bij vraag a berekend. Hiermee is de formule compleet.

Vraag c:
We beginnen te tellen vanaf 12:00 uur, dus om 12:00 geldt: t=0. Twee minuten eerder geldt dus: t=-2. Vul t=-2 in de formule in om de gevraagde hoeveelheid suiker te vinden.

Vraag d:
De groeifactor g_{3 minuten}per 3 minuten is 0,2. Omdat 1 minuut ¹/₃ keer zo lang is, geldt voor de groeifactor per 1 minuut: g_{1 minuut} = 0,2^¹/₃ (zie weer Rekenen met procenten en groeifactoren, "Groei over een kortere periode").

Lukt het hiermee?
GHvD
9-1-2025

Exponentiële functies

Wanneer bv. gegeven is dat de horizontale asymptoot van een exponentiële functie -2 is en je weet dat elke exponentiële functie te schrijven is als ba^x+c waarom kan je deze functie dan schrijven als ba^x-2,ik snap de redenering niet dat je c kan vervangen door het getal van de HA, bij homografisxhe functies moest je de euclidische deling uitvoeren...

Mathia
16-1-2025

Antwoord

Als a > 1 dan geldt \lim_{x\to-\infty}a^x=0, en \lim_{x\to\infty}a^x=\infty.
Als 0 < a < 1 dan is het omgekeerd: \lim_{x\to\infty}a^x=0, en \lim_{x\to-\infty}a^x=\infty.
Er is verder niets nodig.
kphart
16-1-2025

Re: Exponentiële functies

Ik bedoel gewoon : waarom is c gelijk aan het getal van de HA. bv als HA: y=-2, dan snap ik niet waarom c gelijk is aan -2. a en b hoef ik niet te kennen...
Bert
16-1-2025

Antwoord

Omdat ba^x kennelijk alleen y=0 als horizontale asymptoot heeft; dus ba^x+c heeft y=c als (enige) horizontale asymptoot.
kphart
16-1-2025

Re: Re: Exponentiële functies

Bedankt voor uw antwoord en ik heb ook nog een vraag ivm ongelijkheden zowel normale als exponentiele, mijn vraag is waarom keert de ongelijkheid om als je vermenigvuldigt met een negatief getal bv -1? Heeft dit iets met stijgen dalen te maken...
Mathia
16-1-2025

Antwoord

Ja de functie f gegeven door f(x)=-1\cdot x is een dalende functie, teken de grafiek maar. En daar zie je: als a < b dan f(a) > f(b), ofwel als a < b dan -a > -b.
kphart
17-1-2025

Functies

Het voorschrift van de rationale functie f hangt af van twee reêle parameters a en b en f(x)= (a-3x)/(x+b), de vraag is

“Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de parameters a en b opdat de rechte met vergelijking y=x een symmetrieas is van de grafiek van f?”

Hoe kan je hieraan beginnen en kan je dit ook oplossen met asymptoten, ik zit echt vast bij deze.

Hendri
18-1-2025

Antwoord

Je kunt zeker even naar de asymptoten kijken: die moeten elkaars gespiegelden zijn ten opzichte van y=x. De horizontale ligt op hoogte -3 want f(x)=-3+\frac{a+b}{x+b} (reken maar na). Dus de verticale moet bij x=-3 staan. Uit de formule blijkt dat hij bijn x=-b staat, dus moet b=3 gelden.
Dus
f(x)=-3+\frac{a+9}{x+3} = \frac{-3x+a}{x+3}
Dan mag a dus niet gelijk zijn aan -9, want dan zou f(x)=-3 gelden en dan geldt de symmetrie niet meer.

Verder moet altijd gelden dat voor alle x\neq-3 niet alleen (x,f(x)) maar ook (f(x),x) grafiek ligt, en dat laatste betekent dat f(f(x)) gelijk moet zijn aan x. Er geldt
f(f(x))=\frac{-3f(x)+a}{f(x)+3}
Als je dat laatste netjes uitwerkt kom je uit op
\frac{(9+a)x}{9+a}
en omdat a\neq-9 is dat gelijk aan x; je moet dus a=-9 uitsluiten, alle andere waarden zijn toegestaan.
kphart
18-1-2025

Re: Functies

Zeer duidelijk maar hoe kom je precies aan -3, euclidische deling of ...
Hendri
19-1-2025

Antwoord

Begin met
\frac{-3x+a}{x+3}
Wat ik zelf vaak doe is dit: -3x=-3(x+3-3)=-3(x+3)+9, dus wordt de breuk gelijk aan
\frac{-3(x+3)+9+a}{x+3}=-3+\frac{9+a}{x+3}
Dit kan je ook met behulp van euclidische deling vinden.

Alternatief: de -3x in de teller en de x in de noemer vertellen mij dat y=-3 de horizontale asymptoot is. Dan probeer ik f(x) te schrijven als -3+g(x), maar dan
krijg je
g(x)=f(x)+3=\frac{-3x+a}{x+3}+3\frac{x+3}{x+3}=\frac{-3x+a+3x+9}{x+3}
met hetzelfde resultaat.

kphart
19-1-2025

Functies

Als 3^{(2x-x^2)} > 3^{(-2+2x)} dan is 2x-x^2 > -2+2x ,de ongelijkheid keert dus niet om. Normaal gezien keert de ongelijkheid toch niet om als het een stijgende functie is,maar deze functie heeft een enigszins parabool verloop. Ik snap niet goed je dan met zekerheid mag zeggen dat se ongelijkheid behouden blijft want 3^{(2x-x^2)} is soms dalend voor sommige x-waarden...
Toon
21-1-2025

Antwoord

Maar belangrijker: 3^t is een stijgende functie van t, dus als t_1 < t_2 dan 3^{t_1} < 3^{t_2} en omgekeerd. Vul nu t_1=2x-x^2 en t_2=-2+2x in. NB 2x-x^2 en -2+2x zijn twee verschillende uitdrukkingen.

kphart
21-1-2025

Re: Functies

Als ik naar deze grafiek kijk en ik neem 2 functiewaarden waarbij de ene hoger is dan de andere dan is de x-waarde daarbij juist kleiner?
Toon
21-1-2025

Antwoord

Je moet de uitspraak goed lezen: als 3^{2x-x^2} > 3^{-2+2x} dan 2x-x^2 > -2+x. Het gaat om de twee aparte uitdrukkingen t_1=2x-x^2 en t_2=-2+2x (voor één vaste x). Deze worden beide ingevuld in de strict stijgende functie t\mapsto 3^t. En er geldt als 3^{t_1} > 3^{t_2} dan t_1 > t_2 (nog steeds voor die ene zelfde x).
kphart
21-1-2025

Functies relaties afbeeldingen

Geachte heer,

Graag zou ik de volgende vraag willen stellen :

Ik heb een verzameling G = {x \in R+ | x < 250 }, en er is een relatie van G naar N, de verzameling van de natuurlijke getallen, waarbij op een brief die ' x ' gram weegt, voor ' y ' cent aan postzegels geplakt moet worden.

Mijn vraag is namelijk hoe ik deze relatie wiskundig moet noteren, en wat het domein, bereik het beeld van 40 en de originele van 40 zijn bij deze functie.

In een foto stuur ik u mijn uitwerking tot waar ik kon komen, en waar ik klem kwam te zitten.

Bijvoorbaat dank ik u hartelijk voor uw medewerking,

Radjan
Radjan
29-1-2025

Antwoord

Het domein van de relatie/functie G is het interval (0,250), niet alleen maar de natuurlijke getallen 1 tot en met 249.
Het voorschrift kun je, onderverwijzing naar de website van postnl zo noteren:
G(x)=\begin{cases} 121 & 0 < x\le 20\\ 242 & 20 < x\le50\\ 392 & 50 < x < 250 \end{cases}

Dus G(40)=242 (in centen dus), en 40 heeft geen origineel want zelfs de lichtste brief heeft 121 cent nodig en dat is meer dan 40. Het bereik bestaat dus uit de getallen 121, 242, en 392.
kphart
29-1-2025

Goniometrische functie

Hallo, ik heb een vraag ivm deze functie f(x)=a·sin(bx-c)+d, waarom moeten a en b positief zijn?
Emilie
11-2-2025

Antwoord

Dat volgt uit de standaardfunctie zoals deze op formules van sinusoïden opstellen geformuleerd is. Daar is b de amplitude (jouw a) en c heeft te maken met de trillingstijd (jouw b).

Die parameters kunnen natuurlijk ook negatief zijn maar dan moet je de werkwijze anders formuleren en dat is misschien niet gebruikelijk.

Je moet de voorbeelden op formules van sinusoïden opstellen maar ‘s bekijken…
WvR
11-2-2025

Functie bepalen

Geachte, stel je krijgt de grafiek (maar niet het voorschrift) van de functie f(x)=2sin(12(x-\pi/42))-√3 op deze grafiek staat één periode maar het beginpunt van deze periode is (-11\pi/126,0) en dan gaat de grafiek naar beneden en dan staat de coordinaat van een top ook aangeduid, nl. -2-√3 als y coordinaat de x coordinaat staat niet aangeduid en de andere top 2-√3 staat ook aangeduid en ten slotte staat het punt (5\pi/63,0) ook aangeduid. De vraag is om het voorschrift te bepalen en ik had al snel denkend aan f(x)=a(b(x-c))+d vond ik a=2, b=12 en d=-√3 en je moet alleen nog c bepalen en dat vond ik niet en als je een van de twee gegeven punteninvult dan heb je twee mogelijkheden denk ik...
Drin
25-2-2025

Antwoord

Je hebt oneindig veel mogelijkheden.
Omdat de grafiek vanaf -\frac{11}{126}\pi daalt moet er bij invullen van dat getal in 12(x-c) het getal \pi uitkomen, of \pi+2k\pi voor een geheel getal k.
Ik heb x=-\frac{11}{126}\pi ingevuld in 12(x-c) en dat gelijk gesteld aan -\pi; dat geeft c=-\frac1{252}\pi. Als je gelijk stelt aan \pi komt er c=-\frac{43}{252}\pi, enzovoort.
kphart
25-2-2025