WisFaq!

Functies

Het voorschrift van de rationale functie f hangt af van twee reêle parameters a en b en f(x)= (a-3x)/(x+b), de vraag is

“Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de parameters a en b opdat de rechte met vergelijking y=x een symmetrieas is van de grafiek van f?”

Hoe kan je hieraan beginnen en kan je dit ook oplossen met asymptoten, ik zit echt vast bij deze.

Hendrik
18-1-2025

Antwoord

Je kunt zeker even naar de asymptoten kijken: die moeten elkaars gespiegelden zijn ten opzichte van y=x. De horizontale ligt op hoogte -3 want f(x)=-3+\frac{a+b}{x+b} (reken maar na). Dus de verticale moet bij x=-3 staan. Uit de formule blijkt dat hij bijn x=-b staat, dus moet b=3 gelden.
Dus

f(x)=-3+\frac{a+9}{x+3} = \frac{-3x+a}{x+3}

Dan mag a dus niet gelijk zijn aan -9, want dan zou f(x)=-3 gelden en dan geldt de symmetrie niet meer.

Verder moet altijd gelden dat voor alle x\neq-3 niet alleen (x,f(x)) maar ook (f(x),x) grafiek ligt, en dat laatste betekent dat f(f(x)) gelijk moet zijn aan x. Er geldt

f(f(x))=\frac{-3f(x)+a}{f(x)+3}

Als je dat laatste netjes uitwerkt kom je uit op

\frac{(9+a)x}{9+a}

en omdat a\neq-9 is dat gelijk aan x; je moet dus a=-9 uitsluiten, alle andere waarden zijn toegestaan.

kphart
18-1-2025