WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijzen

Bewijs equipotentie

Beste

Ik heb morgen examen en er is een vraag van de oude examens waar ik niet op uit kom. Ik heb ze in de bijlage gezet, ik zoek naar vraag b). Ik weet dat je equipotentie kan bewijzen door een injectie in beide richtingen te vinden of door simpelweg een bijectie tussen de twee te vinden, maar ik kom op niks terecht. Is er een andere manier om dit aan te pakken of is het blijven verder zoeken?
Alvast bedankt
Jacob
17-1-2024

Antwoord

Gebruik het gegeven: er is een $\sigma$ met $\sigma\circ f=g\circ\sigma$.
Bewijs met behulp hiervan: als $f(x)=x$ dan $g(\sigma(x))=\sigma(x)$ en omgekeerd: als $g(x)=x$ dan $f(\sigma^{-1}(x))=\sigma^{-1}(x)$.
Concludeer dat $\sigma$ een bijectie is tussen de vaste punten van $f$ en die van $g$.

kphart
17-1-2024

Inleiding Analyse Opgave 1.35

Ik krijg deze vraag niet door, ik weet niet waar ik moet beginnen en hoe ik de voorwaarde dat |x| $>$ 1 moet toepassen?
Inleiding Analyse

Louis
11-2-2024

Antwoord

Als je de ongelijkheid oplost zul je zien dat de oplossing gelijk is aan:

$
x \lt - 1 \vee x \ge 1
$

En dat is dan precies gelijk aan $
\left| x \right| \gt 1
$

Helpt dat?
WvR
11-2-2024

Inleiding Analyse Opgave 1.37

Mijn probleem met de volgende vraag is dat ik de theorie van open verzamelingen begrijp maar zodra ik het moet toepassen begrijp ik niks meer, hoe pak ik zo'n vraag aan?
Inleiding Analyse

Louis
11-2-2024

Antwoord

Als je theorie van de open verzamelingen echt begrijpt weet je dat dit niets met open verzamelingen te maken heeft, maar met niet meer dan de driehoeksongelijkheid in $\mathbb{R}^n$.
(OK de vraag tussen haakjes heeft met de definitie van de afstand te maken.)

1. omdat $a\neq b$ is er een $i$ zó dat $a_i\neq b_i$ en dus
$$d(a,b)=\sqrt{\sum_{k=1}^n(a_k-b_k)^2}\ge |a_k-b_k| > 0
$$2. Neem $x\in B(a,r_1)\cap B(b,r_2)$, dan geldt dus $d(a,x) < r_1$ en $d(x,b) < r_2$. Pas de driehoeksongelijkheid toe:
$$d=d(a,b)\le d(a,x)+d(x,b) < r_1+r_2
$$
kphart
12-2-2024

Bewijs stelling Smirnov-Nagata

Beste professor Hart,

Ik was aan het lezen over metriseerbaarheid en de stelling van Smirnov-Nagata en heel toevallig vond ik online een pdf-bestand waarin u deze stelling bewijst: https://fa.ewi.tudelft.nl/~hart/37/onderwijs/topologie/dictaat-vu-2002.pdf (dit is in hoofdstuk 9, stelling 9.16).

Ik heb 2 vragen hierbij:

1)In de opgave zegt u X is metriseerbaar als en slechts als X regulier is met een σ-lokaal eindige basis. Maar dan in het bewijs veronderstelt u dat X een T3-ruimte is dus regulier+T1 met een σ-lokaal eindige basis. Moest er in de opgave T3 staan?

2)Op het einde van het bewijs zegt u zij A gesloten en x niet in A, dan bestaan er B,W zodanig x $\in $ B $\subseteq $ sluiting(B) $\subseteq $ W $\subseteq $ X\A, waarom kunnen we zulke B,W vinden?

Alvast bedankt.

Rafik
16-2-2024

Antwoord

1) Zie pagina 37, in definitie 5.14 spreken we af dat regulier gelijk is aan $T_3+T_1$.
2) Zie ook pagina 37, Propositie 5.17: de $W$ is er omdat $\mathcal{B}$ een basis is en dan levert propositie 5.17 de kleinere $B$ (eerst een $V$ en dan weer een $B\in\mathcal{B}$).
kphart
16-2-2024

Re: HZZ is geen congruentiekenmerk

Hallo

Als je wilt aantonen dat HZZ geen congruentiekenmerk is, kun je dit laten zien aan de hand van een tegenvoorbeeld. Congruentie houdt in dat twee objecten (bijvoorbeeld twee driehoeken) precies dezelfde vorm en grootte hebben. Als HZZ een congruentiekenmerk zou zijn, zou het betekenen dat twee driehoeken congruent zijn als de lengtes van twee zijden en de hoek tussen deze zijden in beide driehoeken gelijk zijn.

Een tegenvoorbeeld zou een situatie zijn waarbij twee driehoeken dezelfde lengtes hebben voor twee zijden en dezelfde hoek tussen deze zijden, maar toch niet congruent zijn. Een voorbeeld hiervan is:

Driehoek ABC met AB = 5, AC = 4 en hoek A = 90 graden.
Driehoek DEF met DE = 5, DF = 4 en hoek D = 60 graden.

In dit geval hebben beide driehoeken dezelfde lengtes voor de zijden AB en AC en hebben ze dezelfde hoek tussen deze zijden. Echter, ze zijn niet congruent omdat de derde zijde en de hoeken niet overeenkomen.

massio
18-3-2024

Antwoord

Er staat:

Driehoek ABC met AB = 5, AC = 4 en hoek A = 90 graden.
Driehoek DEF met DE = 5, DF = 4 en hoek D = 60 graden.

Maar dan zijn de twee overeenkomstige hoeken niet gelijk toch? Dat zou voor HZZ wel moeten!

Het voorbeeld uit de vraag waar je op reageert lijkt me wel in orde...
WvR
18-3-2024

Een gelijkbenige rechthoekige driehoek

Gegeven is een gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC, waarbij M het midden is van AC. Verder is F een punt tussen B en C op de lijn BC en de lijn FM snijdt de lijn AB in het punt E. Toon aan dat lijnstuk EF langer is dan AC.
Zou iemand dit kunnen bewijzen?
Olivie
19-4-2024

Antwoord

Ik niet: teken in je plaatje $F$ maar heel dicht bij $B$, dan wordt $FE$ heel kort en korter dan $AC$.
Aan de andere kant: als je voor $F$ het midden van $BC$ neemt dan snijden $MF$ en $AB$ elkaar niet.

Het lijkt me dat de vraag onvolledig is.
kphart
19-4-2024