WisFaq!

Re: Accumulatie punt net

Beste

Bedankt voor uw antwoord. Is dit wat u bedoelt: Stel f is het accumulatie punt. Neem y in (0,R) willekeurig. Dan is |f(iy)- $\gamma $ |$ \le $ |f(iy)-F( $\varepsilon $ iy)|+|F( $\varepsilon $ iy)- $\gamma $ |. Dit gaat naar nul door de voorwaarde voor de limiet en het feit dat f een accumulatie punt is. Zo krijgen we dat f= $\gamma $ op het lijnstuk tussen 0 en Ri, en door eenduidigheid van holomorfe functies is f= $\gamma $ op de rechthoek.

Rafik
14-5-2024

Antwoord

Bijna.
De limiet $\lim_{\varepsilon\downarrow0}|F(\mathrm{i}y\varepsilon)-\gamma|$ is inderdaad gelijk aan nul, dat volgt uit de gegeven eigenschap van $F$.
De limiet $\lim_{\varepsilon\downarrow0}|f(\mathrm{i}y)-F(\mathrm{i}y\varepsilon)|$ hoeft niet te bestaan omdat $f$ slechts een accumulatiepunt is, maar er is, juist omdat $f$ een accumulatiepunt is, een rijtje $\langle \varepsilon_n:n\in\mathbb{N}\rangle$ dat naar nul convergeert en zo dat $\lim_{n\to\infty}|f(\mathrm{i}y)-F(\mathrm{i}y\varepsilon_n)|=0$. En dat is genoeg.

De rest klopt.

kphart
15-5-2024