WisFaq!

Accumulatie punt net

Beste

Stel F: \Omega - > C(complexe getallen) is een holomorfe en begrensde functie op de rechthoek \Omega =(-a,a)+i(0,R). Stel ook dat lim(y- > 0) F(iy)= \gamma . Noteer met D_C={x+iy \in \Omega :|x| < Cy} met C > 0 zekere constante. Noteer met F_ \varepsilon (z)=F( \varepsilon z) met z in D_C. Toon aan dat als de net {F_ \varepsilon }_{ \varepsilon \in (0,1)} \subseteq H(D_C)(de set van holomorfe functies op D_C) een accumulatie punt heeft dan is dat punt de constante functie \gamma .

Ik zie niet echt in hoe ik de informatie over de limiet kan gebruiken om dit te concluderen. Kunt me aub op de juiste weg zetten. Alvast bedankt!

Rafik
13-5-2024

Antwoord

Stel dat accumulatiepunt is de functie f, dan geldt voor elke y\in(0,R) dat f(y\mathrm{i})=\gamma, want \lim_{\varepsilon\to0}F(\varepsilon y\mathrm{i})=0.
Dus f is holomorf en constant op het lijnstuk tussen 0 en R\mathrm{i}. Wat betekent dat voor f?

kphart
14-5-2024