WisFaq!

Accumulatie punt net

Beste

Stel F: $\Omega $ - $>$ C(complexe getallen) is een holomorfe en begrensde functie op de rechthoek $\Omega $ =(-a,a)+i(0,R). Stel ook dat lim(y- $>$ 0) F(iy)= $\gamma $ . Noteer met D_C={x+iy $\in $ $\Omega $ :|x| $<$ Cy} met C $>$ 0 zekere constante. Noteer met F_ $\varepsilon $ (z)=F( $\varepsilon $ z) met z in D_C. Toon aan dat als de net {F_ $\varepsilon $ }_{ $\varepsilon $ $\in $ (0,1)} $\subseteq $ H(D_C)(de set van holomorfe functies op D_C) een accumulatie punt heeft dan is dat punt de constante functie $\gamma $ .

Ik zie niet echt in hoe ik de informatie over de limiet kan gebruiken om dit te concluderen. Kunt me aub op de juiste weg zetten. Alvast bedankt!

Rafik
13-5-2024

Antwoord

Stel dat accumulatiepunt is de functie $f$, dan geldt voor elke $y\in(0,R)$ dat $f(y\mathrm{i})=\gamma$, want $\lim_{\varepsilon\to0}F(\varepsilon y\mathrm{i})=0$.
Dus $f$ is holomorf en constant op het lijnstuk tussen $0$ en $R\mathrm{i}$. Wat betekent dat voor $f$?

kphart
14-5-2024