WisFaq!

Topologische groep: uniform continu

Zij G een topologische groep. We zeggen dat een functie f:G- > R uniform continu is als voor elke \varepsilon > 0 er een open omgeving U van de identiteit element e bestaat zodat voor elke x,y in G met x^-1y\in U, |f(x)-f(y)| < \varepsilon .

Mijn vraag is stel G is compact en f:G- > R continu dus bijgevolg uniform continu zodat we zo een U hebben. Dan kunnen we G bedekken via x_1U \cup … \cup x_nU voor zeker x_i in G. Ik wil nu bewijzen dat max(f)-min(f) < epsilon. We kunnen alvast zeker zeggen door de continuïteit van f op de compact G dat er een zekere x_max en x_min bestaat in G zodat max(f)=f(x_max) en min(f)=f(x_min). Maar ik weet niet hoe ik het verschil kan afschatten ik heb het gevoel dat ik gebruik moet maken van de eindige bedekking voor G want ik weet dat x_max \in x_iU en x_min \in x_jU. Ik wou aantonen dat x_max^-1x_min\in U want dan volgt het gevraagde door uniform continuïteit van f, maar zie niet echt hoe ik verder kan. Wilt u mij op de juiste weg zetten alvast bedankt!

Rafik
12-11-2024

Antwoord

Je openingszin van de tweede alinea is (al) fout: "\ldots zodat we zo'n U hebben." In je definitie hangt die U van (de gegeven) \varepsilon af. In je tweede alinea hebt je geen \varepsilon genoemd, dus kun je ook niet "zo'n U" vinden.

Verder: als dit zou lukken voor elke willekeurige \varepsilon dan zou f een constante functie zijn, omdat kennelijk \max(f)=\min(f).

Neem de cyklische groep van orde 2, dus G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Die heeft twee elementen, 0 en 1. Definieer f:G\to\mathbb{R} door f(0)=0 en f(1)=1. Dat geeft een continue functie met \max(f)-\min(f)=1.

Je vraag is dus niet goed gesteld. Of was de vraag toch anders?

kphart
12-11-2024