WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Partiële integratie

was de integraal van
f(x)= (x²-1)ln(x+1) en de integraal van
f(x)= (x²+1)arctan(x)

de oplossingen heb ik maar ik weet nie hoe ik er moet komen
ik weet wel dat je 't moet oplossen met partiële integratie
alvast bedankt
Bieke
3de graad ASO - zaterdag 29 maart 2003

Antwoord

Een redelijk bewerkelijk sommetje moet ik zeggen.
Maar we doen ons best er een beetje lijn in aan te brengen.

a. f(x)=(x²-1)ln(x+1)

ò(x²-1)ln(x+1)dx = [(¹/₃x³-x)ln(x+1)] - ò(¹/₃x³-x)/(x+1) dx

Welnu, het gedeelte (¹/₃x³-x)/(x+1) moet je 'ontrafelen' mbv een staartdeling. Dit levert:
¹/₃x²-¹/₃x-2/3+(2/3)/(x+1)
Deze componenten integreren wat makkelijker dan (¹/₃x³-x)/(x+1), nietwaar?

Dus hebben we:
[(¹/₃x³-x)ln(x+1)] - ò¹/₃x²-¹/₃x-2/3+(2/3)/(x+1) dx
= [(¹/₃x³-x)ln(x+1)] - [(1/9)x³-(1/6)x²-(2/3)x+(2/3)ln(x+1)]
= [(¹/₃x³-x-(2/3))ln(x+1) -(1/9)x³ + (1/6)x² + (2/3)x]

b. (x²+1)arctan(x)
ò(x²+1)arctan(x)dx
=[(¹/₃x³+x)arctanx] - ò(¹/₃x³+x)/(1+x²) dx

Ook hier geldt weer: de breuk ](¹/₃x³+x)/(1+x²) ontrafelen dmv een staartdeling.
Hetgeen resulteert in ¹/₃x + (2/3)x/(1+x²)

Dus:
ò(x²+1)arctan(x)dx
=[(¹/₃x³+x)arctanx] - ò(¹/₃x³+x)/(1+x²) dx
=[(¹/₃x³+x)arctanx] - ò¹/₃x + (2/3)x/(1+x²) dx
=[(¹/₃x³+x)arctanx] - [(1/6)x²+¹/₃ln(1+x²)]
=[(¹/₃x³+x)arctanx - (1/6)x²-¹/₃ln(1+x²)]

groeten,
martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 29 maart 2003