Partiële integratie
was de integraal van
f(x)= (x2-1)ln(x+1) en de integraal van
f(x)= (x2+1)arctan(x)
de oplossingen heb ik maar ik weet nie hoe ik er moet komen
ik weet wel dat je 't moet oplossen met partiële integratie
alvast bedankt
Bieke
3de graad ASO - zaterdag 29 maart 2003
Antwoord
Een redelijk bewerkelijk sommetje moet ik zeggen.
Maar we doen ons best er een beetje lijn in aan te brengen.
a. f(x)=(x2-1)ln(x+1)
̣(x2-1)ln(x+1)dx = [(1/3x3-x)ln(x+1)] - ̣(1/3x3-x)/(x+1) dx
Welnu, het gedeelte (1/3x3-x)/(x+1) moet je 'ontrafelen' mbv een staartdeling. Dit levert:
1/3x2-1/3x-2/3+(2/3)/(x+1)
Deze componenten integreren wat makkelijker dan (1/3x3-x)/(x+1), nietwaar? 
Dus hebben we:
[(1/3x3-x)ln(x+1)] - ̣1/3x2-1/3x-2/3+(2/3)/(x+1) dx
= [(1/3x3-x)ln(x+1)] - [(1/9)x3-(1/6)x2-(2/3)x+(2/3)ln(x+1)]
= [(1/3x3-x-(2/3))ln(x+1) -(1/9)x3 + (1/6)x2 + (2/3)x]
b. (x2+1)arctan(x)
̣(x2+1)arctan(x)dx
=[(1/3x3+x)arctanx] - ̣(1/3x3+x)/(1+x2) dx
Ook hier geldt weer: de breuk ](1/3x3+x)/(1+x2) ontrafelen dmv een staartdeling.
Hetgeen resulteert in 1/3x + (2/3)x/(1+x2)
Dus:
̣(x2+1)arctan(x)dx
=[(1/3x3+x)arctanx] - ̣(1/3x3+x)/(1+x2) dx
=[(1/3x3+x)arctanx] - ̣1/3x + (2/3)x/(1+x2) dx
=[(1/3x3+x)arctanx] - [(1/6)x2+1/3ln(1+x2)]
=[(1/3x3+x)arctanx - (1/6)x2-1/3ln(1+x2)]
groeten,
martijn
mg
zaterdag 29 maart 2003
©2001-2024 WisFaq
|