WisFaq!

Partiële integratie

was de integraal van
f(x)= (x²-1)ln(x+1) en de integraal van
f(x)= (x²+1)arctan(x)

de oplossingen heb ik maar ik weet nie hoe ik er moet komen
ik weet wel dat je 't moet oplossen met partiële integratie
alvast bedankt

Bieke
29-3-2003

Antwoord

Een redelijk bewerkelijk sommetje moet ik zeggen.
Maar we doen ons best er een beetje lijn in aan te brengen.

a. f(x)=(x²-1)ln(x+1)

̣(x²-1)ln(x+1)dx = [(¹/₃x³-x)ln(x+1)] - ̣(¹/₃x³-x)/(x+1) dx

Welnu, het gedeelte (¹/₃x³-x)/(x+1) moet je 'ontrafelen' mbv een staartdeling. Dit levert:
¹/₃x²-¹/₃x-2/3+(2/3)/(x+1)
Deze componenten integreren wat makkelijker dan (¹/₃x³-x)/(x+1), nietwaar?

Dus hebben we:
[(¹/₃x³-x)ln(x+1)] - ̣¹/₃x²-¹/₃x-2/3+(2/3)/(x+1) dx
= [(¹/₃x³-x)ln(x+1)] - [(1/9)x³-(1/6)x²-(2/3)x+(2/3)ln(x+1)]
= [(¹/₃x³-x-(2/3))ln(x+1) -(1/9)x³ + (1/6)x² + (2/3)x]


b. (x²+1)arctan(x)
̣(x²+1)arctan(x)dx
=[(¹/₃x³+x)arctanx] - ̣(¹/₃x³+x)/(1+x²) dx

Ook hier geldt weer: de breuk ](¹/₃x³+x)/(1+x²) ontrafelen dmv een staartdeling.
Hetgeen resulteert in ¹/₃x + (2/3)x/(1+x²)

Dus:
̣(x²+1)arctan(x)dx
=[(¹/₃x³+x)arctanx] - ̣(¹/₃x³+x)/(1+x²) dx
=[(¹/₃x³+x)arctanx] - ̣¹/₃x + (2/3)x/(1+x²) dx
=[(¹/₃x³+x)arctanx] - [(1/6)x²+¹/₃ln(1+x²)]
=[(¹/₃x³+x)arctanx - (1/6)x²-¹/₃ln(1+x²)]

groeten,
martijn

mg
29-3-2003