WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bijzonderheden van parabolen en hyperbolen

Gegeven:

$\eqalign{H:\frac{x^2}{4}-y^2=1}$
$L: y=x^2-8$

Gevraagd:

Maak een schets en geef alle bijzonderheden.

Ik begrijp de vraag niet omdat ik eigenlijk niet de beschikking over b hebt, maar ik neem aan dat deze niet mee doet?

Hoe moet ik in deze situatie het brandpunt oplossen. En punt p bepalen?
mattin
Student hbo - zondag 19 oktober 2003

Antwoord

Beste Mattin,

Je hebt hier te maken met een hyperbool (H) en een parabool (L).
Hieronder staat een uitgebreide uitwerking van je vraag.

Hyperbool
H: x²/4 - y² = 1 beschrijft een hyperbool.
We zouden hier de volgende wat algemenere vergelijking van een hyperbool kunnen bekijken:

(x²/a²) - (y²/b²) = 1

asymptoten
Daarvan hebben de scheve asymtoten de volgende vergelijkingen:
ay = bx en ay = -bx

Zie ook Ellipsen en hyperbool voor een andere algemene vergelijking.

In jouw geval kun je dus eigenlijk zeggen dat b²=1 dus b = 1 want
x²/4 - y² = 1
x²/4 - y²/1 = 1

a² = 4 dus a = 2

asymptoten: y = ¹/₂x en y = -¹/₂x

Brandpunten
In Brandpunten van een hyperbool wordt uitgelegd hoe je de brandpunten en excentriciteit van de hyperbool kunt vinden.
De brandpunten liggen in (c,0) en (-c,0) waarbij c²=a²+b²
De verhouding c/a wordt de excentriciteit van de hyperbool genoemd.

Voor jouw hyperbool geldt dus dat:
c² = 4+1 = 5
dus de brandpunten liggen op (√5,0) en (-√5,0)
De excentriciteit is ¹/₂√5

Raaklijnen
Meer over raaklijnen en hyperbolen kun je vinden bij de volgende antwoorden:
Hyperbool en raaklijn
Hyperbool en raaklijn: uitleg
En je vindt ook nog meer op:
Hyperbool
Hyperbool
Parabool
L: y = x² - 8 beschrijft een parabool.

Deze functie lijkt erg op een 'standaard' parabool : y = x².
De gegeven functie wordt dan als het ware 8 naar beneden verschoven.

De symmetrie-as van deze parabool is dan ook de y-as en de top ligt op (0, -8)

Wil je meer weten over parabolen, kijk dan ook eens bij het volgende antwoord:
Hoe kun je de formule van een parabool vinden?
Snijpunten
Interessant is misschien nog om naar de snijpunten van de functies met de y-as en x-as te kijken. Of de snijpunten van deze functies.

Snijpunten met de x-as
H: x²/4 - y² = 1
y = 0 $\to$ x²/4 = 1 $\to$ x² = 4 $\to$
snijpunten (2,0) en (-2,0)

L: y = x² - 8
y = 0 $\to$ 0 = x² - 8 $\to$ x² = 8
snijpunten (2√2,0) en (-2√2,0)

Snijpunten met de y-as
H: x²/4 - y² = 1
x = 0 $\to$ -y² = 1
geen snijpunten

L: y = x² - 8
x = 0 $\to$ y = -8
snijpunt (0,-8)

Snijpunten van H en L
H: x²/4 - y² = 1
L: y = x² - 8

Bedenk dat een snijpunt van deze twee functies aan beide vergelijkingen moet voldoen.
Als we L omschrijven vinden we:
y + 8 = x² (1)

Als we H omschrijven vinden we:
x² - 4y² = 4 (2)

Vullen we (1) in (2) in dan vind je:
y + 8 - 4y² = 4

Hieruit kun je y oplossen door de abc of wortelformule te gebruiken.

De tekening kan je helpen om te controleren of je antwoorden correct zijn.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 19 oktober 2003