WisFaq!

Bijzonderheden van parabolen en hyperbolen

Gegeven:

$\eqalign{H:\frac{x^2}{4}-y^2=1}$
$L: y=x^2-8$

Gevraagd:

Maak een schets en geef alle bijzonderheden.

Ik begrijp de vraag niet omdat ik eigenlijk niet de beschikking over b hebt, maar ik neem aan dat deze niet mee doet?

Hoe moet ik in deze situatie het brandpunt oplossen. En punt p bepalen?

mattin veth
19-10-2003

Antwoord

Beste Mattin,

Je hebt hier te maken met een hyperbool (H) en een parabool (L).
Hieronder staat een uitgebreide uitwerking van je vraag.

Hyperbool
H: x²/4 - y² = 1 beschrijft een hyperbool.
We zouden hier de volgende wat algemenere vergelijking van een hyperbool kunnen bekijken:

(x²/a²) - (y²/b²) = 1

asymptoten
Daarvan hebben de scheve asymtoten de volgende vergelijkingen:
ay = bx en ay = -bx

Zie ook Ellipsen en hyperbool voor een andere algemene vergelijking.

In jouw geval kun je dus eigenlijk zeggen dat b²=1 dus b = 1 want
x²/4 - y² = 1
x²/4 - y²/1 = 1

a² = 4 dus a = 2

asymptoten: y = ¹/₂x en y = -¹/₂x

Brandpunten
In Brandpunten van een hyperbool wordt uitgelegd hoe je de brandpunten en excentriciteit van de hyperbool kunt vinden.
De brandpunten liggen in (c,0) en (-c,0) waarbij c²=a²+b²
De verhouding c/a wordt de excentriciteit van de hyperbool genoemd.

Voor jouw hyperbool geldt dus dat:
c² = 4+1 = 5
dus de brandpunten liggen op (√5,0) en (-√5,0)
De excentriciteit is ¹/₂√5

Raaklijnen
Meer over raaklijnen en hyperbolen kun je vinden bij de volgende antwoorden:

• Hyperbool en raaklijn
• Hyperbool en raaklijn: uitleg

En je vindt ook nog meer op:

• Hyperbool
• Hyperbool

Parabool
L: y = x² - 8 beschrijft een parabool.

Deze functie lijkt erg op een 'standaard' parabool : y = x².
De gegeven functie wordt dan als het ware 8 naar beneden verschoven.

De symmetrie-as van deze parabool is dan ook de y-as en de top ligt op (0, -8)

Wil je meer weten over parabolen, kijk dan ook eens bij het volgende antwoord:

• Hoe kun je de formule van een parabool vinden?

Snijpunten
Interessant is misschien nog om naar de snijpunten van de functies met de y-as en x-as te kijken. Of de snijpunten van deze functies.

Snijpunten met de x-as
H: x²/4 - y² = 1
y = 0 $\to$ x²/4 = 1 $\to$ x² = 4 $\to$
snijpunten (2,0) en (-2,0)

L: y = x² - 8
y = 0 $\to$ 0 = x² - 8 $\to$ x² = 8
snijpunten (2√2,0) en (-2√2,0)

Snijpunten met de y-as
H: x²/4 - y² = 1
x = 0 $\to$ -y² = 1
geen snijpunten

L: y = x² - 8
x = 0 $\to$ y = -8
snijpunt (0,-8)

Snijpunten van H en L
H: x²/4 - y² = 1
L: y = x² - 8

Bedenk dat een snijpunt van deze twee functies aan beide vergelijkingen moet voldoen.
Als we L omschrijven vinden we:
y + 8 = x² (1)

Als we H omschrijven vinden we:
x² - 4y² = 4 (2)

Vullen we (1) in (2) in dan vind je:
y + 8 - 4y² = 4

Hieruit kun je y oplossen door de abc of wortelformule te gebruiken.

De tekening kan je helpen om te controleren of je antwoorden correct zijn.

gm
19-10-2003