WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Raaklijn bepalen van hyperbool

Van de hyperbool \eqalign{H \to \frac{{x^2 }} {{a^2 }} - \frac{{y^2 }} {{b^2 }} = 1} is de rico gelijk aan m. Bewijs dat de raaklijn kan geschreven worden als:

y = mx + \sqrt {a^2 m^2 - b^2 } of y = mx - \sqrt {a^2 m^2 - b^2 }

Oplossing:

\eqalign{m = \frac{{b^2 x}} {{a^2 y}}} (algemene definitie rico hyperbool).
Ik heb x en y al ingevuld na substitutie, maar ik loop telkens vast. Hoe moet ik verder werken?
Koen
3de graad ASO - vrijdag 6 december 2002

Antwoord

We stellen de vergelijking van de raaklijn aan de hyperbool (in de door m bepaakde richting) gelijk aan:
y = mx + q

Invullen in de vergelijking van de hyperbool geeft dan voor de x-en van de beide snijpunten van de lijn en de hyperbool:
\eqalign{\frac{{x^2 }} {{a^2 }} - \frac{{\left( {mx + q} \right)^2 }} {{b^2 }} = 1}

Uitwerken van de haakjes, wegwerken van de breuken, op nul herleiden en ordenen naar x geeft:
\left( {a^2 m^2 - b^2 } \right)x^2 + 2a^2 mqx + a^2 q^2 + a^2 b^2 = 0

Maar bij een raaklijn zijn die x-en aan elkaar gelijk. De discriminant van de laatste vergelijking (in x) is dus gelijk aan 0:
4a^4 m^2 q^2 - 4\left( {a^2 m^2 - b^2 } \right)\left( {a^2 q^2 + a^2 b^2 } \right) = 0

We kunnen delen door 4a^2:
a^2 m^2 q^2 - \left( {a^2 m^2 - b^2 } \right)\left( {q^2 + b^2 } \right) = 0

Uitwerken van de haakjes (de termen a^2m^2aq^2 vallen tegen elkaar weg):
- a^2 m^2 b^2 + b^2 q^2 + b^4 = 0

Deling door b^2 geeft dan:
- a^2 m^2 + q^2 + b^2 = 0
zodat:
q^2 = a^2 m^2 - b^2

Hieruit vinden we twee waarden van a. We vinden dus ook twee raaklijnen aan de hyperbool met richtingscoëffiënt m:
y = mx + \sqrt {a^2 m^2 - b^2 } \vee y = mx - \sqrt {a^2 m^2 - b^2 }
mits natuurlijk a^2 m^2 \geq b^2 . Dit laatste kunnen we schrijven als:
\eqalign{m \geq \frac{b} {a} \vee m \leq - \frac{b} {a}}

Een raaklijn aan een hyperbool is dus slechts mogelijk in een richting die met de positieve x-as een hoek vormt gelijk aan of groter dan die welke de asymtoten ermee maken.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 6 december 2002