WisFaq!

Raaklijn bepalen van hyperbool

Van de hyperbool $
\eqalign{H \to \frac{{x^2 }}
{{a^2 }} - \frac{{y^2 }}
{{b^2 }} = 1}
$ is de rico gelijk aan m. Bewijs dat de raaklijn kan geschreven worden als:

$
y = mx + \sqrt {a^2 m^2 - b^2 }
$ of $
y = mx - \sqrt {a^2 m^2 - b^2 }
$

Oplossing:

$
\eqalign{m = \frac{{b^2 x}}
{{a^2 y}}}
$ (algemene definitie rico hyperbool).
Ik heb x en y al ingevuld na substitutie, maar ik loop telkens vast. Hoe moet ik verder werken?

Koen
6-12-2002

Antwoord

We stellen de vergelijking van de raaklijn aan de hyperbool (in de door $m$ bepaakde richting) gelijk aan:
$
y = mx + q
$

Invullen in de vergelijking van de hyperbool geeft dan voor de $x$-en van de beide snijpunten van de lijn en de hyperbool:
$
\eqalign{\frac{{x^2 }}
{{a^2 }} - \frac{{\left( {mx + q} \right)^2 }}
{{b^2 }} = 1}
$

Uitwerken van de haakjes, wegwerken van de breuken, op nul herleiden en ordenen naar $x$ geeft:
$
\left( {a^2 m^2 - b^2 } \right)x^2 + 2a^2 mqx + a^2 q^2 + a^2 b^2 = 0
$

Maar bij een raaklijn zijn die $x$-en aan elkaar gelijk. De discriminant van de laatste vergelijking (in $x$) is dus gelijk aan 0:
$
4a^4 m^2 q^2 - 4\left( {a^2 m^2 - b^2 } \right)\left( {a^2 q^2 + a^2 b^2 } \right) = 0
$

We kunnen delen door $4a^2$:
$
a^2 m^2 q^2 - \left( {a^2 m^2 - b^2 } \right)\left( {q^2 + b^2 } \right) = 0
$

Uitwerken van de haakjes (de termen $a^2m^2aq^2$ vallen tegen elkaar weg):
$
- a^2 m^2 b^2 + b^2 q^2 + b^4 = 0
$

Deling door $b^2$ geeft dan:
$
- a^2 m^2 + q^2 + b^2 = 0
$
zodat:
$
q^2 = a^2 m^2 - b^2
$

Hieruit vinden we twee waarden van $a$. We vinden dus ook twee raaklijnen aan de hyperbool met richtingscoëffiënt $m$:
$
y = mx + \sqrt {a^2 m^2 - b^2 } \vee y = mx - \sqrt {a^2 m^2 - b^2 }
$
mits natuurlijk $
a^2 m^2 \geq b^2
$. Dit laatste kunnen we schrijven als:
$
\eqalign{m \geq \frac{b}
{a} \vee m \leq - \frac{b}
{a}}
$

Een raaklijn aan een hyperbool is dus slechts mogelijk in een richting die met de positieve $x$-as een hoek vormt gelijk aan of groter dan die welke de asymtoten ermee maken.

dk
6-12-2002