WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Analyse van meer variabelen

Dit is een reactie op vraag 90828

Beste KpHart,

Ik heb meer keren het artikel van Peter Stevenhagen in het nummer van Pythagoras gelezen. Als ik het zo begrijp, krijg ik 4 oplossingen.

Ik heb hier bepaalde vragen:

Vraag 1:
Zoals u eerder vermeld had, wordt de functie als volgt geschreven: (x−3y)²−2(2y−1)² = −1
Hier geldt dus dat n = x - 3y en m = 2y - 1. Klopt dat?

Als ik de functie herschrijf, dan krijg ik:

( x - 3y - 2y√2 + √2)(x - 3y + 2√2 - 2) = -1 bij oneven m.

Als ik x=y=1 invul, dan klopt het niet meer omdat de uitkomst 2 moet zijn. En hier ben ik dood stil gebleven. Kweet niet hoe ik verder ga. Vandaar dat ik de 4 oplossingen bij vraag 3 niet meer zie...

Vraag 2:

Hoe komt u a.u.b. aan y = 4 -3x ± √(8x² -24x + 17)?

Vraag 3:
m_k - 3n_k = ± x_k
en 2n_k - 1 = ±y_k

Moet ik hier weer de functie herschrijven zoals bij vraag 1? of niet?
Alvast bedankt.

Met vriendelijke groet,
M

M
Student hbo - zaterdag 31 oktober 2020

Antwoord

Het is een beetje lastig dat Stevenhagen ook $x$-en en $y$-en in de vergelijking $x^2-2y^2=\pm1$ gebruikt, maar ik heb zijn notatie gebruikt, dus de $(x_k,y_k)$ verwijzen naar de oplossingen van $x^2-2y^2=\pm1$.

Dus bij 1 is het, helaas misschien, net andersom: we zoeken geheeltallige oplossingen van je vergelijking, dus gaat het ons om $(m-3n)^2-2(2n-1)^2=-1$. Dus $x=m-3n$ en $y=2n-1$.

Nu is $x=1$, $y=1$ een oplossing van $x^2-2y^2=-1$, de bijbehorende $m$ en $n$ krijg je door $m-3n=1$ en $2n-1=1$ op te lossen: $n=1$ en $m=4$; dan krijg je er nog drie door $\pm1$ te gebeuiken.

Vraag 2: kwadraat afsplitsen: van $y^2+8y-6xy$ kun je $(y+4-3x)^2-(4-3x)^2$ maken (werk maar uit) en je vergelijking wodt dan
$$(y+4-3y)^2 - (4-3x)^2 + x^2=1
$$Nu verder uitwerken (of $abc$-formule met $a=1$, $b=8-6x$ en $c=x^2-1$).

Vraag 3: de $x_k$ en $y_k$ zijn oplossingen van $x^2-2y^2=-1$ en de $m_k$ en $n_k$ zijn dat oplossingen van jouw vergelijking.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 31 oktober 2020

Re: Re: Re: Re: Analyse van meer variabelen