WisFaq!

Re: Re: Re: Analyse van meer variabelen

Beste KpHart,

Ik heb meer keren het artikel van Peter Stevenhagen in het nummer van Pythagoras gelezen. Als ik het zo begrijp, krijg ik 4 oplossingen.

Ik heb hier bepaalde vragen:

Vraag 1:
Zoals u eerder vermeld had, wordt de functie als volgt geschreven: (x−3y)²−2(2y−1)² = −1
Hier geldt dus dat n = x - 3y en m = 2y - 1. Klopt dat?

Als ik de functie herschrijf, dan krijg ik:

( x - 3y - 2y√2 + √2)(x - 3y + 2√2 - 2) = -1 bij oneven m.

Als ik x=y=1 invul, dan klopt het niet meer omdat de uitkomst 2 moet zijn. En hier ben ik dood stil gebleven. Kweet niet hoe ik verder ga. Vandaar dat ik de 4 oplossingen bij vraag 3 niet meer zie...

Vraag 2:

Hoe komt u a.u.b. aan y = 4 -3x ± √(8x² -24x + 17)?

Vraag 3:
m_k - 3n_k = ± x_k
en 2n_k - 1 = ±y_k

Moet ik hier weer de functie herschrijven zoals bij vraag 1? of niet?
Alvast bedankt.

Met vriendelijke groet,
M

M
31-10-2020

Antwoord

Het is een beetje lastig dat Stevenhagen ook $x$-en en $y$-en in de vergelijking $x^2-2y^2=\pm1$ gebruikt, maar ik heb zijn notatie gebruikt, dus de $(x_k,y_k)$ verwijzen naar de oplossingen van $x^2-2y^2=\pm1$.

Dus bij 1 is het, helaas misschien, net andersom: we zoeken geheeltallige oplossingen van je vergelijking, dus gaat het ons om $(m-3n)^2-2(2n-1)^2=-1$. Dus $x=m-3n$ en $y=2n-1$.

Nu is $x=1$, $y=1$ een oplossing van $x^2-2y^2=-1$, de bijbehorende $m$ en $n$ krijg je door $m-3n=1$ en $2n-1=1$ op te lossen: $n=1$ en $m=4$; dan krijg je er nog drie door $\pm1$ te gebeuiken.

Vraag 2: kwadraat afsplitsen: van $y^2+8y-6xy$ kun je $(y+4-3x)^2-(4-3x)^2$ maken (werk maar uit) en je vergelijking wodt dan
$$(y+4-3y)^2 - (4-3x)^2 + x^2=1
$$Nu verder uitwerken (of $abc$-formule met $a=1$, $b=8-6x$ en $c=x^2-1$).

Vraag 3: de $x_k$ en $y_k$ zijn oplossingen van $x^2-2y^2=-1$ en de $m_k$ en $n_k$ zijn dat oplossingen van jouw vergelijking.

kphart
31-10-2020