Ik heb meer keren het artikel van Peter Stevenhagen in het nummer van Pythagoras gelezen. Als ik het zo begrijp, krijg ik 4 oplossingen.
Ik heb hier bepaalde vragen:
Vraag 1: Zoals u eerder vermeld had, wordt de functie als volgt geschreven: (x−3y)2−2(2y−1)2 = −1 Hier geldt dus dat n = x - 3y en m = 2y - 1. Klopt dat?
Als ik de functie herschrijf, dan krijg ik:
( x - 3y - 2y√2 + √2)(x - 3y + 2√2 - 2) = -1 bij oneven m.
Als ik x=y=1 invul, dan klopt het niet meer omdat de uitkomst 2 moet zijn. En hier ben ik dood stil gebleven. Kweet niet hoe ik verder ga. Vandaar dat ik de 4 oplossingen bij vraag 3 niet meer zie...
Vraag 2:
Hoe komt u a.u.b. aan y = 4 -3x ± √(8x2 -24x + 17)?
Vraag 3: mk - 3nk = ± xk en 2nk - 1 = ±yk
Moet ik hier weer de functie herschrijven zoals bij vraag 1? of niet? Alvast bedankt.
Met vriendelijke groet, M
M
Student hbo - zaterdag 31 oktober 2020
Antwoord
Het is een beetje lastig dat Stevenhagen ook $x$-en en $y$-en in de vergelijking $x^2-2y^2=\pm1$ gebruikt, maar ik heb zijn notatie gebruikt, dus de $(x_k,y_k)$ verwijzen naar de oplossingen van $x^2-2y^2=\pm1$.
Dus bij 1 is het, helaas misschien, net andersom: we zoeken geheeltallige oplossingen van je vergelijking, dus gaat het ons om $(m-3n)^2-2(2n-1)^2=-1$. Dus $x=m-3n$ en $y=2n-1$.
Nu is $x=1$, $y=1$ een oplossing van $x^2-2y^2=-1$, de bijbehorende $m$ en $n$ krijg je door $m-3n=1$ en $2n-1=1$ op te lossen: $n=1$ en $m=4$; dan krijg je er nog drie door $\pm1$ te gebeuiken.
Vraag 2: kwadraat afsplitsen: van $y^2+8y-6xy$ kun je $(y+4-3x)^2-(4-3x)^2$ maken (werk maar uit) en je vergelijking wodt dan $$(y+4-3y)^2 - (4-3x)^2 + x^2=1 $$Nu verder uitwerken (of $abc$-formule met $a=1$, $b=8-6x$ en $c=x^2-1$).
Vraag 3: de $x_k$ en $y_k$ zijn oplossingen van $x^2-2y^2=-1$ en de $m_k$ en $n_k$ zijn dat oplossingen van jouw vergelijking.
Dit is een reactie op vraag 90828 
