\require{AMSmath}

6. Wortelfuncties

Bij funties met wortelvormen gebruik je de exponentenregel. Bedenk daarbij dat de exponentenregel ook geldt voor gebroken en negatieve exponenten. Je maakt van de wortels gebroken exponenten, gaat differentiëren en maakt daarna van de gebroken exponenten weer wortels.

Voorbeeld 1

$
\eqalign{
  & f(x) = \sqrt x   \cr
  & f(x) = x^{\frac{1}
{2}}   \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{2}x^{ - \frac{1}
{2}}   \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{{2\sqrt x }} \cr}
$

Voorbeeld 2

$
\eqalign{
  & f(x) = \sqrt {3x - 4}   \cr
  & f(x) = \left( {3x - 4} \right)^{\frac{1}
{2}}   \cr
  & f'(x) = \frac{1}
{2}\left( {3x - 4} \right)^{ - \frac{1}
{2}}  \cdot 3  \cr
  & f'(x) = \frac{3}
{{2\sqrt {3x - 4} }} \cr}
$ 

Voorbeeld 3

$ \eqalign{ & f(x) = x\sqrt x \cr & f(x) = x \cdot x^{\frac{1} {2}} = x^{1\frac{1} {2}} \cr & f'(x) = 1\frac{1} {2}x^{\frac{1} {2}} = 1\frac{1} {2}\sqrt x \cr} $

Voorbeeld 4

$ \eqalign{ & f(x) = \sqrt {x^2 - 3x} \cr & f(x) = \left( {x^2 - 3x} \right)^{\frac{1} {2}} \cr & f'(x) = \frac{1} {2}\left( {x^2 - 3x} \right)^{ - \frac{1} {2}} \cdot \left( {2x - 3} \right) = \frac{{2x - 3}} {{2\sqrt {x^2 - 3x} }} \cr} $

Voorbeeld 5

Hoe bereken je afgeleide van $f(x)=x\sqrt{8-x^2}$?

$
\eqalign{
  & f(x) = x\sqrt {8 - x^2 }   \cr
  & f'(x) = \sqrt {8 - x^2 }  + x \cdot \frac{1}
{{2\sqrt {8 - x^2 } }} \cdot  - 2x  \cr
  & f'(x) = \sqrt {8 - x^2 }  - \frac{{x^2 }}
{{\sqrt {8 - x^2 } }}  \cr
  & f'(x) = \frac{{8 - x^2 }}
{{\sqrt {8 - x^2 } }} - \frac{{x^2 }}
{{\sqrt {8 - x^2 } }}  \cr
  & f'(x) = \frac{{8 - 2x^2 }}
{{\sqrt {8 - x^2 } }} \cr}
$


©2004-2024 WisFaq