WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Rijen en reeksen

Meetkundige rijen

Van een meetkundige rij zijn $a$, $b$ en $c$ drie opeenvolgende termen veronderstel dat $1/(b-a)$, $1/2b$ en $1/(b-c)$ bestaan. Toon aan dat het drie opeenvolgende termen zijn van een meetkundige rij. Gegeven: $b^2=ac$ en Te bewijzen: $2(1/2b)= 1/(b-a) + 1/(b-c)$.
Hoe kan je dit kort bewijzen?
KMN
9-1-2025

Antwoord

Werk
$$\frac1{b-a}+\frac1{b-c}
$$netjes uit. Als je één keer $ac=b^2$ vervangt zul je zien dat je in de noemer $b$ buiten de haakjes kun halen en binnen de haakjes de teller krijgt. Dus de som is gelijk aan $\frac1b$.
kphart
9-1-2025

Meetkundige rij

De opgave is: Een heimachine slaat een betonnen paal in de grond. Bij de eerste klap gaat de paal 200cm de grond in. Bij elke volgende klap gaat de paal 20% minder ver de grond in dan bij de voorgaande klap. Hoe ver kan de heimachine de paal in de grond slaan?

Ik snap niet echt hoe je hieraan moet beginnen, ik weet wel al dat het een MR is, nl. 200 160 128 ... met q=0,8...
Bert
12-1-2025

Antwoord

Kennelijk gaat de paal
$$200\left(1+\frac45+\left(\frac45\right)^2+\cdots+\left(\frac45\right)^n+\cdots\right)
$$centimeter de grond in. En dat is gelijk aan
$$200\cdot\frac1{1-\frac45}
$$
kphart
12-1-2025

Re: Meetkundige rij

Hoe kom je tot die laatste formule?
Bert
12-1-2025

Antwoord

Ik ging er vanuit dat je die wel wist, omdat je zag dat het met een meetkundige rij te maken had. De formule wordt op deze pagina uitgelegd.
kphart
12-1-2025

Rij

Hallo, bij deze oef heb ik gevonden dat er 22 rijen zijn maar ik snap niet hoe je de volgende 2 vragen oplost.

"De 2134 zitjes in een theaterzaal zijn V-vormig opgesteld. De eerste (onderste) rij telt 34 zitjes. Elke volgende rij telt 6 zitjes meer. M.a.w. rij twee telt 40 zitjes, rij drie 46 zitjes … "

a)Als de zitjes van beneden naar boven toe worden genummerd, op welke rij bevindt zich zitje nummer 800?

b)Als de zitjes van boven naar beneden toe worden genummerd, op welke rij bevindt zich zitje nummer 800 dan?

Mvg Edward
Edward
10-3-2025

Antwoord

Hallo Edward,

De aantallen stoeltjes op rijnumer n vormen een rekenkundige rij met (van onder naar boven gerekend) als eerste term 34, en verschil 6. De formule voor het aantal stoeltjes a_n op rij n is dan:

a_n = 34+6(n-1)

Voor de som S_n van n termen van een rekenkundige rij geldt de formule:

Som = ¹/₂n(a_n + a_n)

In dit geval dus:

S_n = ¹/₂n(34 + 34+6(n-1))

Als je dit wat uitwerkt, dan krijg je:

S_n = 34n+3n(n-1)

Bijvoorbeeld: S₃=34*3+3*3(3-1) = 120

Dat betekent dat in de eerste 3 rijen 120 stoeltjes staan. Kijk nu in de somrij wat de eerste term is die 800 of groter is. Ik vind:

S₁₁=704
S₁₂=804

Dat betekent dat het aantal stoeltjes t/m rij 11 704 is (dus nog geen 800), het aantal stoeltjes t/m rij 12 is 804. Stoeltje nummer 800 bevindt zich dus in rij 12.

Kan je zelf met deze procedure vraag b) oplossen?

GHvD
11-3-2025