De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Integreren

Bovensom, ondersom en oppervlakte

Beste,

Hoe kan ik deze vraag oplossen? Kunt u aub mij helpen? Gegeven is de functie g met functievoorschrift g(x)=x+1.
  1. Bereken de ondersom en de bovensom van deze functie over het interval [-4, 4] bij acht (gelijke) deelintervallen.
  2. Bereken met behulp van oppervlakteformules de exacte oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van deze functie en de x-as over het interval [-4,4].

Riffat
15-1-2021

Antwoord

Printen
Misschien heb je hier iets aan:

a.

q91370img1.gif

q91370img2.gif

b.

q91370img3.gif

Nu jij weer...

WvR
16-1-2021


Oppervlakte bepalen

'Bepaal de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van de functies y=2x2+10 en y=4x+16.'

Ik kom als oppervlakte 64/3 uit, er staat geen oplossing bij. Klopt dit? of zou ik iets anders moeten uitkomen?

elke
19-1-2021

Antwoord

Printen
Dat klopt.
Zie Integral 2x²+10-4x-16 from -1 to 3

js2
19-1-2021


Integraal met een functie in e-macht

hoi ik moet een oppervlakte bepalen: f(x)= e^1+2x en g(x)= e^1-x en de rechten zijn x = -2, x = 1 en y= 0

ik heb het geprobeerd en ik kom e^1+ e^-3 - e^0 + e^1 uit. maar dit klopt niet. ik zou -3e + e^-1 + (1/2)e^-3 + (1/2)e^3+1 moeten hebben. hoe kan ik dit oplossen? en vanwaar komt die 1/2?

elke
19-1-2021

Antwoord

Printen
Hallo Elke,

Er ontbreken haakjes in je notatie. Hieronder zie je wat ik denk dat je bedoelt.

Eerst maar eens de primitiven bepalen:

q91393img5.gif

De factor 1/2 in de primitieve F(x) heeft te maken met de kettingregel. Wanneer je de afgeleide van F(x) bepaalt, moet je de oorspronkelijke functie f(x) weer terugkrijgen. In de exponent van f(x) komt een factor 2 voor, vanwege de kettingregel volgt dan een vermenigvuldiging met 2. De factor 1/2 in F(x) zorgt ervoor dat je uitkomt op de juiste afgeleide.
Om dezelfde reden vind je een min-teken in de primitieve G(x).

De grafieken van f(x) en g(x) snijden elkaar in (0, e). Voor x$<$0 ligt de grafiek van g(x) boven de grafiek van f(x), voor x$>$0 is dit andersom. Links van de y-as vind je de gevraagde oppervlakte met F(x) tussen de grenzen x=-2 en x=0. Rechts van de y-as neem je G(x) tussen x=0 en x=1.

Dan is het een kwestie van zorgvuldig uitwerken:

Links van de y-as:

q91393img6.gif

Rechts van de y-as:

q91393img7.gif

Optellen van de resultaten levert je de gevraagde oppervlakte:

q91393img8.gif

Ik kom uit op een ander resultaat dan jij aangeeft. Misschien bedoel je toch iets andere functies, of heb je een typfout gemaakt bij het overnemen van het antwoord? Ik kan natuurlijk ook een vergissing hebben gemaakt, maar na enkele keren narekenen vind ik toch mijn uitkomst.

GHvD
20-1-2021


Re: Integraal met een functie in e-macht

ik begrijp niet echt hoe je aan F(x) van f(x) komt. Moet je dan eerst de afgeleide ervan bepalen? want als ik de afgeleide bepaal kom ik uit op 2e1+2x maar zoals u zegt is dat dan niet hetzelfde. Wat ik dan eigenlijk moet doen is de afgeleide gaan vermenigvuldigen met een getal om aan f(x) te komen? Of heeft dit een vaste eigenschap dat ik moet toepassen?

elke
20-1-2021

Antwoord

Printen
Hallo Elke,

Je weet dat de afgeleide van ex weer ex is. Dan geldt dit ook voor de weg terug: de primitieven van ex zijn ex+C. De constante C heeft een willekeurige waarde, want de afgeleide van deze constante is 0. Ik zal deze C verder buiten beschouwing laten.

Wellicht denk je dat, op grond van dezelfde regel, geldt:

f(x)=e2x geeft als primitieve F(x)=e2x

Maar dit is onjuist. Een primitieve functie is die functie waarvan de afgeleide weer de oorspronkelijke functie oplevert, er moet gelden:

F'(x)=f(x)

Laten we eens kijken wat de afgeleide van F(x)=e2x oplevert:

F(x)=e2x geeft F'(x)=e2x·2 = 2e2x

Dit is niet gelijk aan de oorspronkelijke functie f(x)=e2x, het scheelt een factor 2. Deze factor 2 is het gevolg van de kettingregel.

Omdat deze afgeleide een factor 2 te groot is, is kennelijk deze primitieve ook een factor 2 te groot. Door aan deze primitieve een factor 1/2 toe te voegen, maak je het geheel correct:

F(x)=1/2·e2x geeft F'(x)=1/2·e2x·2 = e2x

Nu is F'(x) wel gelijk aan f(x).

GHvD
20-1-2021


Re: Bovensom, ondersom en oppervlakte

Beste
Ik heb b. opgelost. ik weet nu hoe moet ik oppervlakte bepalen. Kunt u aub mij helpen met a.?

Riffat
27-1-2021

Antwoord

Printen
Bij a. heb ik de onder- en bovensom getekend. 't Is vooral een kwestie van hokjes tellen...

WvR
27-1-2021


Boven- en ondergrens bij een lijnintegraal

Beste

Als onderwerp voor mijn eindwerk van wiskunde heb ik lijnintegralen gekozen, nu het meeste snap ik, maar bij de oefeningen zit ik vast:

Namelijk er wordt gevraagd om de lijnintegraal te berekenen van een functie r(t)=(acost, asint, bt) in een vector veld v(t)=(-y, x, z2) tussen (a, 0, 0) en (a, 0, 2$\pi$b)

Het probleem waar ik mee zit is dat ik uit de gegeven coördinaten mijn onder en bovengrens niet vind om in te vullen in de formule, (dit wordt niet uitgelegd in de cursus) en ik vroeg me af of iemand me hiermee zou kunnen helpen en of er een algemene manier is om deze te vinden bij andere oefeningen.

Alvast Bedankt.

Jorien
7-2-2021

Antwoord

Printen
Je hebt de parametrisering al: $r(t)=(a\cos t, a\sin t, bt)$. Bij welke waarden van $t$ horen de gegeven punten? Voor welke $t$ geldt $r(t)=(a,0,0)$? En $r(t)=(a,0,2\pi b)$?

kphart
8-2-2021


Primitieve bepalen

Hoe bepaal ik de primitieve van de volgende opgave:

ex siny $-$ 3y sinx dx

Ik snap dit niet met die siny en moet je niet partieel integreren bij die eerste term?

Sophie
15-3-2021

Antwoord

Printen
De integratieveranderlijke is $x$. Dan mag je $y$ als een constante beschouwen. Lukt het zo?

js2
15-3-2021


Re: Primitieve bepalen

Nee, helaas. Ik kom er echt niet uit. waarom hou je dan siny over in het antwoord als je siny als gewoon getal mag beschouwen?

Sophie
15-3-2021

Antwoord

Printen
Als er 3 als factor staat, staat die er toch ook nog in je primitieve?
Je beschouwt $\sin y$ en $y$ inderdaad als een constante. Dan krijg je:
\[\int e^x \sin y - 3y \sin x dx = \sin y \int e^x dx - 3y \int \sin x dx\]
Duidelijk zo?

js2
15-3-2021


Oppervlakte benaderen

In een figuur staat een deel van de grafiek van f(x)=x√(25-x2) en de lijn y=3x.
  1. Benader de oppervlakte van het gebied, dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de positieve x-as met behulp van een Riemann-som met vijf deelintervallen. Rond je antwoord af op twee decimalen.
  2. Door de grafiek van f en de lijn y=3x wordt een gebied G ingesloten. Geef de integraal waarmee je de oppervlakte van dit gebied kunt berekenen en bereken daarmee de oppervlakte van G in twee decimalen.
  3. De functie f heeft een primitieve van de vorm p · (25-x2)q. Bereken exact de waarden van p en q.

Hans B
21-3-2021

Antwoord

Printen
Bij a. kan deze tekening van een benadering met de ondersom misschien helpen.

q91796img1.gif

1e rechthoekje hoogte is $f(0)=0$
2e rechthoekje hoogte is $f(1)=2\sqrt{6}$
3e rechthoekje hoogte is $f(2)=2\sqrt{21}$
4e rechthoekje hoogte is $f(3)=12$
5e rechthoekje hoogte is $f(4)=12$

De breedte van de rechthoekjes is 1. Een benadering voor de oppervlakte onder de grafiek is de som van de 5 oppervlakten:

$
\sum\limits_{k = 0}^4 {f(k)} \approx {\text{38}}{\text{,06}}
$

Je zou natuurlijk ook naar de bovensom kunnen kijken. Moet je maar 's doen! Ik kom dan uit op:

$
\sum\limits_{k = 1}^5 {f(k)} \approx {\text{38}}{\text{,06}}
$

Dat lijkt wel hetzelfde...

Bij b. kan je, met je rekenmachine, een benadering vinden voor de integraal:

$
\int\limits_0^5 {{\text{x}}\sqrt {{\text{25 - x}}^{\text{2}} } } dx \approx 41,67
$

Bij c. is het handig om de zaak om te draaien. Bereken de afgeleide van:

$F(x) = p \cdot \left( {25 - x^2 } \right)^q$

Je kunt dan de waarden voor $p$ en $q$ bepalen. Dat moet kunnen...

Succes!

WvR
21-3-2021


Oppervlakte exact berekenen

In één figuur staan de grafieken van de functies f(x)=√x en g(x)=(1/x√x) samen met de lijn l met vergelijking y = $\frac{1}{32}$x.

G is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de lijn l.
  • Bereken exact de oppervlakte van het gebied G.

Hans B
21-3-2021

Antwoord

Printen
Hallo Hans,

Maak een schets. Dit hoeft niet op schaal, het gaat erom dat je ziet hoe de grafieken ten opzichte van elkaar liggen en wat precies het gebied G is. Zo'n schets ziet er zo uit:

q91797img1.gif

In de schets zie je dat gebied G wordt bepaald door f(x)-l voor x=0 tot x=xA plus g(x)-l voor x=xA tot x=xB.

Dus:
  • Bereken de x-coördinaten van de snijpunten A en B
  • Integreer f(x)-y en g(x)-y tussen de aangegeven grenzen
Lukt het hiermee? Zo niet, stel dan gerust een vervolgvraag, maar laat dan wel zien wat je zelf hebt geprobeerd, zie de spelregels.

GHvD
21-3-2021


Coördinaten

De grafiek van de functie f(x) = x2 wordt gesneden door een lijn y=ax waarbij a$>$0. Naast het snijpunt O(0,0) is er het snijpunt S.
  1. Druk de coördinaten van het punt S uit in a.
  2. Bereken exact de waarde van a waarvoor de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van f en de lijn y=ax gelijk is aan 36.
  3. Punt P is de projectie van S op de x-as. Bewijs algebraïsch dat de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van f en een lijn y=ax voor elke waarde van a het derde deel is van de oppervlakte van driehoek OPS.

Hans B
21-3-2021

Antwoord

Printen
Hallo Hans,

Maak een schets. Dit hoeft niet op schaal, het gaat erom dat je ziet hoe de grafieken ten opzichte van elkaar liggen en om welke gebieden en oppervlaktes het precies gaat. Zo'n schets ziet er zo uit:

q91798img1.gif

Voor vraag a: Los op: f(x)=y, ofwel: x2=ax. Je vindt de x-coördinaat xS van S. Invullen hiervan in één van de functies levert je de y-coördinaat van S.

Voor vraag b: in de schets zie je dat de bedoelde oppervlakte wordt bepaald door y-f(x) voor x=0 tot x=xS. Stel de integraal op van y-f(x) tussen deze grenzen, je vindt de oppervlakte uitgegdrukt in a. Stel deze uitdrukking gelijk aan 36 om de gevraagde waarde van a te vinden.

Voor vraag c: je hebt al een uitdrukking gevonden voor de oppervlakte van het ingesloten gebied. Stel ook een uitdrukking op voor de oppervlakte van driehoek OPS. Je zult zien dat de verhouding van deze oppervlaktes 1:3 is.

Lukt het hiermee? Zo niet, stel dan gerust een vervolgvraag, maar laat dan wel zien wat je zelf hebt geprobeerd, zie de spelregels.

GHvD
21-3-2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3