WisFaq!

hallo, ik heb eigenlijk veel moeite met dit integraal (1/(1-x)).( \sqrt{} (x/1-x)dx, ik heb al geprobeerd om substitutie te doen op verschillende manieren maar ik kom altijd in dezelfde loop waar ik nooit op een uitkomst komt
Annick
2-1-2025

Antwoord

Zo te zien gaat het om
\int\frac1{1-x}\cdot\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,\mathrm{d}x
Maak daar eens
\int \sqrt{x}\cdot\frac1{(1-x)^{\frac32}}\,\mathrm{d}x
van. Doe een stap partiële integratie:
\sqrt{x}\cdot\frac2{\sqrt{1-x}}-\int\frac1{\sqrt{x}}\cdot\frac1{\sqrt{1-x}}\,\mathrm{d}x
De overgebleven integraal wordt nu
\int\frac1{\sqrt{x-x^2}}\,\mathrm{d}x
Je kunt x-x^2 omschrijven tot \frac14-(x-\frac12)^2, en dan is het een kwestie van herkennen: iets als 1/\sqrt{a^2-x^2} heeft een primitieve waar de arcsinus in zit. In dit geval krijg je
\int\frac1{\sqrt{x-x^2}}\,\mathrm{d}x =\arcsin(2x-1)
Bij elkaar genomen krijgen we dus
2\sqrt{\frac{x}{1-x}}-\arcsin(2x-1)

kphart
3-1-2025

Wentelen om y-as van een NIET-functie

Geachte,graag uw hulp.
De opgave is deze: bereken de inhoud van het omwentelingslichaam rond de y-as van het ingesloten gebied bij y²= x²-x³
Ik begrijp dat de grafiek bestaat uit 2 takken: y=+/- \sqrt{} (x²-x³)
Bij de pluswortel heb ik de top bepaald. Die zit bij x=2/3 en de bijbehorende y-waarde = \sqrt{} (4/27). Maar verder kom ik eigenlijk niet. Ik zie echt niet hoe ik die 2 ' halve cirkeltjes ' kan wentelen om de x-as.
Ik begrijp ook dat ik de formule onder de integraal x²=y²-y³ moet gebruiken.
Maar hoe? Welke grenzen???

Bij voorbaat dank voor uw antwoord.
Dian
20-2-2025

Antwoord

Je begin met wentelen om de y-as, en later wil je om de x-as draaien. En omdat je y=\pm\sqrt{x^2-x^3} schrijft denk ik dat het om de x-as moet. Kijk naar het plaatje

Als je die kromme om de x-as wentelt krijg je hetzelfde lichaam als wanneer je alleen de bovenkant wentelt. Maar dan is het makkelijk want je moet het kwadraat van de wortel integreren en er komt gewoon
\pi\int_0^1 x^2-x^3\,\mathrm{d}x

Een andere reden waarom ik denk dat er niet om de y-as gewenteld zal worden is dat je dan x (of x^2) in y moet uitdrukken; dat kan met behulp van de formules van Cardano, maar die geven niet echt een mooie uitdrukking om te integreren:
x=\frac13+\frac16\sqrt[3]{8-108y^2+12\sqrt{81y^4-12y^2}}+ \frac16\sqrt[3]{8-108y^2-12\sqrt{81y^4-12y^2}}

En dat beschrijft alleen nog maar het rechterstuk van de `waterdruppel', voor x tussen \frac23 en 1.
kphart
21-2-2025

Re: Wentelen om y-as van een NIET-functie

Geachte,
Hartelijk dank voor uw snelle antwoord. Voor alle duidelijkheid: er moet toch gewenteld worden om de y-as (Sorry voor het foutje in mijn vraag...)

De opdracht was om het 'begrensde' gebied te wentelen om de y-as. (Ik ging uit van de 2 gebieden in de 2 'waterdruppels'; ik zie niet welke andere gebieden er anders bedoeld zouden zijn) Het antwoord zou 64/105 \pi zijn volgens het antwoordblad...

Waarom kan ik niet gewoon x en y verwisselen en dan gebruiken x²=y²-y³? Maar hoe zit het dan met de grenzen???

Nogmaals hartelijk dank!
Dian
21-2-2025

Antwoord

Het verwisselen van x en y betekent dat je het gebied spiegelt in de lijn y=x, en als je dat doet moet je dat gebied om de x-as draaien en dat betekent dat je de vergelijking naar y moet oplossen, met dezelfde ingewikkelde formule als resultaat.

De opgave wordt een stuk makkelijker door poolcoördinaten te gebruiken. We voeren even een derde coördinaat z in en drukken de kromme uit in x en z door z^2=x^2-x^3. Als de die om de z-as (die staat loodrecht op het xy-vlak) draaien. Je krijgt dan dit:

De vergelijking van het oppervlak is dan z^2=(x^2+y^2)-(x^2+y^2)^{\frac32}, en in poolcoördinaten wordt dat z^2=r^2-r^3 (want x=r\cos\theta, en y=r\sin\theta).
In de beschrijving loopt \theta helemaal rond: 0\le\theta\le2\pi, en voor r geldt 0\le r\le1, en voor z komt er -\sqrt{r^2-r^3}\le z\le\sqrt{r^2-r^3}.
De inhoud van het wentellichaam wordt dan
2\pi\cdot\int_0^12\sqrt{r^2-r^3}\cdot r\,\mathrm{d}r

Omdat r positief is kun je er deze integraal van maken: 4\pi\int_0^1r^2\sqrt{1-r}\,\mathrm{d}r en die levert inderdaad het antwoord dat je noemt.
kphart
22-2-2025

Laplace

Ik heb een dubbele integraal met variabelen x en y
functie: 1 / pi · e^-(x²+y²)

bovengrens x: - (√2 / 4)
ondergrens x: - (√(8)
bovengrens y: + (√(8)
ondergrens y: + (√2 / 4)

ik wil deze niet oplossen met polar coordinaten, maar met laplace.
is dat mogelijk met deze grenzen?

oplossen met substitutie : y=xt met t=y/x en dy/dt=x en dus dy=xdt
grenzen: t=-2 en t=-¹/₈

is dit correct?

gr, Jan

Herman
12-3-2025

Antwoord

Niet correct: t loopt van -8 tot -\frac18. En ik zie nog niet wat de grenzen voor x zijn bij vaste t. En hoe ziet de functie eruit die je gaat integreren?

kphart
12-3-2025

Dubbele integraal opstellen mbv poolcoördinaten

ik, heb moeite om de grenzen van theta te vinden bij deze specifieke opgave, zou iemand kunnen helpen?

(3 punten) Beschouw het gebied G ingesloten tussen de
Y-as en de kromme met vergelijking 2·x= -y²+4·y

Bereken de oppervlakte van dit gebied door de integraal te schrijven in poolcoördinaten als

opp(G)=∫ab(∫cdF(r,θ) dr)dθ
opp(G)=∫

i. Geef de grenzen voor de integraal over r
r: ______
ii. Geef de grenzen voor de integraal over θ
θ: ______
iii. Geef de numerieke uitkomst van de integraal: ______
Seppe
16-3-2025

Antwoord

i) substitueer x=r\cos\theta en y=r\sin\theta in de vergelijking herschrijf het resultaat in de vorm r=\ldots; dit geeft de bovengrens voor r, de ondergrens is makkelijk.

ii) de bovengrens is \frac\pi2; voor de ondergrens bereken je de helling van de parabool in het punt (0,0).

iii) dit zou niet moeilijk moeten zijn met een geschikt programma, Maple bijvoorbeeld
kphart
16-3-2025