WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren

Kettingregel

Hallo,
Ik snap niet hoe de kettingregel (primitiveren) toegepast moet worden bij ingewikkeldere functies, welk deel is dan zeg maar het 'hartje' waarvan je de afgeleide door 1 deelt? Bijvoorbeeld in de vorm van f(x)=a·x³·e^b·x²
Lex
6-1-2024

Antwoord

De kettingregel gaat over differentiëren, maar je noemt primitiveren. Bedoel je misschien de substitutieregel? En als je iets door $1$ deelt gebeurt er niets, dus ik vermoed dat je daar ook wat anders bedoelt. En `hartje' is geen algemeen bekende term; is dat iets wat je docent gebruikt? Wat bedoelt die daarmee?

Maar goed, als je je functie wil primitiveren moet je er even goed naar kijken. Ik zou de exponent in $e^{bx^2}$ willen vervangen door een enkele variabele $u$.
Dus: we proberen $u=bx^2$, dan geldt $\mathrm{d}u=2bx\,\mathrm{d}x$. Dit kun je in $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ invullen:
$$\int a\cdot x^3\cdot e^{bx^2}\,\mathrm{d}x=\int a\cdot x^2\cdot e^{bx^2}\cdot x\,\mathrm{d}x =\int a\cdot\frac ub\cdot e^u\cdot\frac1{2b}\,\mathrm{d}u
$$Je moet dan dus
$$\frac a{2b^2}\int u\cdot e^u\,\mathrm{d}u
$$doen.

Dat kan door goed kijken en even proberen: de afgeleide van $ue^u$ zelf is $ue^u+e^u$, dus de afgeleide van $ue^u-e^u=e^u(u-1)$ is $ue^u+e^u-e^u=ue^u$. Je kunt ook partieel integreren.

Hoe dan ook, er komt
$$\frac a{2b^2}e^u(u-1)+c = \frac a{2b^2}e^{bx^2}(bx^2-1) + c
$$als primitieve van $f(x)$.
kphart
7-1-2024

Re: Kettingregel

Heel erg bedankt! Mijn docenten gebruikt iets wat ze ook wel de kettingregel voor primitiveren noemen. Bij differentieren is het afgeleide functie 1 · functie 2 ·afgeleide functie 2

Bij primitiveren gebruiken ze dan primitieve functie 1 ·functie 2 ·1 gedeeld door afgeleide functie 2 (Vorige keer per ongeluk /1 ipv 1/ opgeschreven)

Dan is functie 2 het 'hartje' wat je eerst gwn laat staan en daarna 1 door deelt Maar ik snap dus nooit wat dan telt als functie 1 en wat als functie 2

Maar uw methode helpt!
Lex
7-1-2024

Antwoord

Zo te zien is in dit geval $bx^2$, of alleen $x^2$, die mysterieuze functie 2. Ik vind dit soort ezelsbruggetjes zelf te ingewikkeld. Ik kijk liever gewoon goed naar de functie en probeer te zien waar afgeleiden van kleine stukjes zitten zodat ik die kleine stukjes door een variabele kan vervangen. Hier ligt $u=bx^2$ wel erg voor de hand omdat die in de $e$-macht zit.

Het algemene idee is de kettingregel achterstevoren te doen:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\bigl(g(x)\bigr) = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)
$$en dus
$$\int f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x= f\bigl(g(x)\bigr)+c
$$
kphart
8-1-2024

Inhoud berekenen

x=2+λ, y=1+2λ, met λ ϵ [-2, 1] inhoud berekenen
Nico
17-3-2024

Antwoord

De inhoud is gelijk aan nul, want je beschrijft een lijnstukje in het platte vlak.
kphart
17-3-2024

Parametrisatie voor lijnintegraal

Beste

In de bijlage ziet u de vraag waar ik moeilijkheden mee heb. Deze lijkt mij het makkelijkst oplosbaar door de formule $\smallint $ f(x,y,z)ds = $\smallint $ f(r(t))|dr/dt|dt. Maar hierbij moet ik deze gevraagde kromme parametriseren. Ik weet niet direct hoe ik hieraan moet beginnen. Ik kwam r(t) = ti + tj - tk uit maar dit komt niet overeen met het punt (3, 1, -2). Dus ik weet niet hoe ik verder moet.
Alvast bedankt.

Mvg, Jacob
Jacob
26-3-2024

Antwoord

Probeer het eens met
$r(t)=3t\cdot\mathrm{i}+t\cdot\mathrm{j}-2t\cdot\mathrm{k}$ waarbij $0\le t\le1$.
Die moet het wel zijn want de oorsprong en $(3,1,-2)$ liggen op de snijlijn van de vlakken dus het verbindende kijnstuk ook.
kphart
26-3-2024

Oefening ijkingstoets ivm integralen

Beste

Kan iemand me helpen met het oplossen van volgend vraagstuk?

Over een continue functie ƒ : R → R is gegeven dat
- De integraal van 0 tot 1 van f(x) 8 is
- De integraal van 1 tot 2 van f(x) 2 is
- De integraal van 2 tot 4 van f(x) 4 is

Gevraagd:
Toon aan dat de integraal van 0 tot 2 van f(2x) gelijk aan 7 is.

Mvg
Stef
1-4-2024

Antwoord

Gebruik de substitutieregel om aan te tonen dat
$$
\int_0^2f(2x)\,\mathrm{d}x = \frac12\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x
$$
kphart
1-4-2024

Sinusgrafiek wentelen

Geachte,
Graag hulp bij het volgende probleem...
De grafiek van de sinusgrafiek met domein [
0,] wordt gewenteld om de lijn y=1
Wat is de inhoud van het omwentelingslichaam?
Ik heb g(x)= sin(x) - 1 gewenteld om de x-as in 2 delen: eerst op het domein [0, $\pi$ en dan op [ $\pi$ ,2 $\pi$ ]
Deel 1: integraal van (sin(x) -1)^...2= ¹/₂ -¹/₂cos(2x)- 2sin(x) ×1
inhoud = $\pi$ - uitkomst integraal
Deel 2: uitkomst integraal - $\pi$ (cilindertje)
Dan kom ik niet aan de uitkomst van 3 $\pi$ ^..2. volgens het antwoordblad... Wat doe ik fout? Mijn antwoord = 8 $\pi$ ???

Dank voor uw hulp!
Katrij
19-4-2024

Antwoord

De extra $\pi$ komt uit de formule:
$$\pi\int_0^{2\pi}(\sin(x) - 1)^2\,\mathrm{d}x
$$de integraal kan gewoon in één keer. Maar in je uitwerking van het kwadraat staat $2\sin(x) \times 1$, dat moet $2\in(x)+1$ zijn. Je krijgt dan
$$\pi\int_0^{2\pi}\frac12-\frac12\cos(2x)-2\sin(x)+1\,\mathrm{d}x
$$en daar komt inderdaad $3\pi^2$ uit.
kphart
19-4-2024

Gaussian integral

Hallo,

Neem de standaard gaussian integraal $\smallint $ e^-x² (Met grenzen -oneindig tot plus oneindig).

Dit is de standaard kromme van de normale verdeling waarbij we met de integraal de oppervlakte berekenen onder de grafiek (boven de x-as).

Vervolgens passen we de 'trucjes' toe en komen we bij de dubbele integraal met een r van 0 tot oneindig en de theta van 0 tot 2$\pi$. Dit laatste was bij mijn studenten wat verwarrend aangezien als je e^-x² bekijkt, dit een grafiek is die eigenlijk alleen zich boven de x-as bevindt en dus zou lopen van 0 tot pi.

Nu ben ik op zoek naar een heldere uitleg in leerlingentaal (v5/v6 wd) en ik ben met de volgende uitleg gekomen, ik hoor graag of wat ik hier beweer geen fouten bevat.

We hebben de integraal van e^-x². Vervolgens kwadrateren we deze (en pakken we van het antwoord weer de wortel). Met het 'trucje' komen we bij de integraal van e^-x²+y² waardoor we eigenlijk effectief van x en y, naar een x,y,z as gegaan zijn; we zijn van 2d naar 3d gegaan, van oppervlakte naar inhoud. Als je de grafiek in 3d plot van z=e^-x²+y² willen we eigenlijk de totale inhoud onder deze figuur, en daar vervolgens de wortel van nemen; dat staat dan gelijk aan de oppervlakte in 2d onder de grafiek van e^-x².

Als we van 'bovenaf' op de xy-as kijken, zien we dat de r moet lopen van 0 naar oneindig, en dat de theta dus een geheel rondje moet maken (0 tot 2$\pi$) (en niet 0 tot pi).

Om de totale inhoud onder e^-x²+y² te berekenen, gebruiken we de dubbele integraal. Als je nu van 'bovenaf' (dus in het verlengde van de z-as; op de xy-as kijkt), zie je dat we
KS622
11-5-2024

Antwoord

Dit voorbeeld komt in de regel aan het eind van een hoofdstuk over gebiedsintegralen als toepassing van alles wat daarvoor behandeld is.
De definitie van de integraal van een functie van twee variabelen, met interpretatie van volume als de functie niet-negatief is.
De stelling dat de integraal over een rechthoek door herhaald integreren berekend kan worden
De opmerking dat als $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$ je het product van de afzonderlijke integralen $\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x$ en $\int_c^dh(y)\,\mathrm{d}y$ krijgt
Een stelling die garandeert dat dit ook opgaat voor convergente oneigenlijke integralen.
De substitutieformule voor overgang op poolcoördinaten (waar komt die extra $r$ vandaan?).
Ik kan me voorstellen dat de studenten dit niet allemaal in één keer kunnen behappen. In een gemiddelde Calculus-cursus duurt dit wel een week of twee.

De uitleg is op zich niet fout maar het wapperen met de handen verbloemt een hele gedachtenwereld en ik vermoed dat de studenten het de volgende dag alweer vergeten zullen zijn.
kphart
12-5-2024

Integraal berekenen met 2 variabelen x

Bij het berekenen van de inhoud van een glas is uitgekomen op een functie.
Dat is de volgende: 𝐹(𝑥) =2/3𝑥√0,5𝑥
Wat is de formule van het glas geweest? Ik denk dat ik het moet oplossen door deze functie weer af te leiden, kan iemand helpen hoe het moet?
Philip
22-5-2024

Antwoord

Hallo Philip,

De vraag 'Wat is de formule van het glas geweest?' is niet te beantwoorden. Met een formule kan je een zekere grootheid berekenen, zoals een inhoud, oppervlakte of doorsnede, of je kunt een curve beschrijven, zoals de vorm van een object. Maar een glas heeft niet een formule ....

Ik ga er even van uit dat je toch de afgeleide zoekt van F(x). Ik vermoed dat je nog wat haakjes had moeten plaatsen:
F(x)= ²/₃·x√(0,5𝑥)

Het bepalen van de afgeleide gaat dan als volgt:
Schrijf F(x) eerst als machtsfunctie:
F(x)= ²/₃·x√(0,5𝑥) = ²/₃·x·√0,5·𝑥^¹/₂ = ²/₃√0,5·𝑥^³/₂
Dan is de afgeleide:
F'(x) = ³/₂·²/₃·√0,5·𝑥^¹/₂ = √0,5·√x = √(0,5x)
Als je iets anders bedoelde, moet je dat nog maar eens aangeven.
GHvD
22-5-2024

Grafische rekenmachine doet iets anders dan computer

Ik heb de integraal van sin(x)(sin(4x)-sin(2x))+cos(x)(cos(4x)+cos(2x)) dx van (1/6)pi tot (5/6)pi. Met behulp van de som- en verschilformules op het formuleblad van het examen heb ik dit weten te schrijven als 2cos(3x) (dit klopt; zie link 1).

Als ik de integraal bereken met de aanvankelijke functie, krijg ik 4.851598235*10^-16. Het berekenen met 2cos(3x) geeft dan weer 0.
Nu heb ik de aanvankelijke functie in WolframAlpha gezet en daarmee de integraal berekend. Dat geeft wèl 0. (zie link 2)

Ik heb een Casio fx-CG50 rekenmachine. Is dit een fout van de rekenmachine (wat mij erg onwaarschijnlijk lijkt), of doe ik iets fout?

Links naar WolframAlpha (helaas zijn ze erg lang...)
Link 1
Link 2

Anonie
4-6-2024

Antwoord

Je krijgt als antwoord 4.851598235*10^-16 en geen nul omdat die rekenmachine de zaak niet exact oplost maar de zaak benadert. Het is geen 'exact' antwoord maar een 'ongeveer' antwoord.

Je zult het wel met me eens zijn dat 4.851598235*10^-16 toch wel erg dicht bij nul ligt. Dus als 'benadering' lijkt me dat geen gekke uitkomst. Aan de gebruiker van het apparaat de taak te bedenken dat hier toch wel 's nul uit zou kunnen komen. Daar is dan de wiskunde wel weer superieur over de elektronica. Je kunt bewijzen dat er exact nul uitkomt. Je kunt op je vingers natellen dat er dan geen ontkomen meer aan is.

Hoe meer berekeningen de rekenmachine moet doen hoe meer fouten er ontstaan. Een aantal keren afronden en je raakt steeds verder van het pad. Dus hoe eenvoudiger de formule hoe minder afwijkingen van het antwoord. Zo'n rekenmachine is leuk maar 't blijft behelpen.

Hopelijk helpt dat.

PS
Je ziet dat ik niet bang ben voor lange URL's. Sterker nog: ik vind ze wel handig. Zo kan iedereen precies zien hoe 't in elkaar steekt. Mooi!
WvR
4-6-2024

Arctangensfunctie en primitiveren

Waarom komt er √3 uit bij het invullen van x=0,5·ln(3) in e^x?
Ceylin
29-8-2024

Antwoord

Maak gebruik van de Rekenregels voor logaritmen. Je krijgt dan:

$\eqalign{{e^{\frac{1}{2}\ln (3)}} = {e^{\ln (\sqrt 3 )}} = \sqrt 3 }$

Meer moet het niet zijn...
WvR
31-8-2024

Omwentellingslichaam om de lijn ye

Gegeven is de functie f(x) = e^x. V is het vlakdeel dat wordt ingesloten
door de grafiek van f, de x-as, de y-as en de lijn x = 1.
Bereken algebraïsch de inhoud L van het lichaam dat ontstaat als V
wentelt om de lijn y = e. Rond af op twee decimalen.

Mijn aanpak:
Ik heb eerst de inhoud van een cilinder omgewenteld om de lijn y=e
ik kwam uit op I(cilinder) = $\pi$ $\times $ y² $\times $ h = $\pi$ $\times $ e² $\times $ 1.

Daarna heb ik de omwentellingslichaam berekend van het stuk dat wordt ingesloten door grafiek van f, de y-as en de lijn e.
Ik kwam uit op: I(W) = $\pi$ $\smallint $ (e)² - f(x)² (begrends door b=1 en a=0). Uiteindelijk kwam ik op: I(W) = $\pi$ (1/2e² + 1/2)

Als laatste stap om I(v) te berekenen heb ik
I(cilinder) - I(W)= $\pi$ e² - $\pi$ (1/2e² + 1/2) = $\pi$ (1/2e² - 1/2) = 10.04

Ik kom niet op hetzelfde uit als in de uitwerkingen (19.31), daar hebben ze namelijk een andere methode gebruikt. Maar zelf snap ik ook niet wat er fout is aan mijn aanpak.
Mohamm
21-10-2024

Antwoord

Je formule voor $I(W)$ klopt niet want die levert de inhoud van het wentellichaam van het vlakdeel als het om de $x$-as wordt gedraait.
Immers: $\pi\int_0^1\mathrm{e}^2\,\mathrm{d}x$ geeft de cilinder met straat $\mathrm{e}$ om de $x$-as, en $\pi\int_0^1f(x)^2\,\mathrm{d}x$ geeft het wentellichaam van het vlakdeel onder de grafiek van $f$ om de $x$-as.

Je moet de afstand van de grafiek van $f$ tot de lijn $y=\mathrm{e}$ gebruiken, dus
$$
I(W)=\pi\int_0^1 (\mathrm{e}-\mathrm{e}^x)^2\,\mathrm{d}x
$$
kphart
22-10-2024