WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren

Kettingregel

Hallo,
Ik snap niet hoe de kettingregel (primitiveren) toegepast moet worden bij ingewikkeldere functies, welk deel is dan zeg maar het 'hartje' waarvan je de afgeleide door 1 deelt? Bijvoorbeeld in de vorm van f(x)=a·x³·e^b·x²
Lex
6-1-2024

Antwoord

De kettingregel gaat over differentiëren, maar je noemt primitiveren. Bedoel je misschien de substitutieregel? En als je iets door $1$ deelt gebeurt er niets, dus ik vermoed dat je daar ook wat anders bedoelt. En `hartje' is geen algemeen bekende term; is dat iets wat je docent gebruikt? Wat bedoelt die daarmee?

Maar goed, als je je functie wil primitiveren moet je er even goed naar kijken. Ik zou de exponent in $e^{bx^2}$ willen vervangen door een enkele variabele $u$.
Dus: we proberen $u=bx^2$, dan geldt $\mathrm{d}u=2bx\,\mathrm{d}x$. Dit kun je in $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ invullen:
$$\int a\cdot x^3\cdot e^{bx^2}\,\mathrm{d}x=\int a\cdot x^2\cdot e^{bx^2}\cdot x\,\mathrm{d}x =\int a\cdot\frac ub\cdot e^u\cdot\frac1{2b}\,\mathrm{d}u
$$Je moet dan dus
$$\frac a{2b^2}\int u\cdot e^u\,\mathrm{d}u
$$doen.

Dat kan door goed kijken en even proberen: de afgeleide van $ue^u$ zelf is $ue^u+e^u$, dus de afgeleide van $ue^u-e^u=e^u(u-1)$ is $ue^u+e^u-e^u=ue^u$. Je kunt ook partieel integreren.

Hoe dan ook, er komt
$$\frac a{2b^2}e^u(u-1)+c = \frac a{2b^2}e^{bx^2}(bx^2-1) + c
$$als primitieve van $f(x)$.
kphart
7-1-2024

Re: Kettingregel

Heel erg bedankt! Mijn docenten gebruikt iets wat ze ook wel de kettingregel voor primitiveren noemen. Bij differentieren is het afgeleide functie 1 · functie 2 ·afgeleide functie 2

Bij primitiveren gebruiken ze dan primitieve functie 1 ·functie 2 ·1 gedeeld door afgeleide functie 2 (Vorige keer per ongeluk /1 ipv 1/ opgeschreven)

Dan is functie 2 het 'hartje' wat je eerst gwn laat staan en daarna 1 door deelt Maar ik snap dus nooit wat dan telt als functie 1 en wat als functie 2

Maar uw methode helpt!
Lex
7-1-2024

Antwoord

Zo te zien is in dit geval $bx^2$, of alleen $x^2$, die mysterieuze functie 2. Ik vind dit soort ezelsbruggetjes zelf te ingewikkeld. Ik kijk liever gewoon goed naar de functie en probeer te zien waar afgeleiden van kleine stukjes zitten zodat ik die kleine stukjes door een variabele kan vervangen. Hier ligt $u=bx^2$ wel erg voor de hand omdat die in de $e$-macht zit.

Het algemene idee is de kettingregel achterstevoren te doen:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\bigl(g(x)\bigr) = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)
$$en dus
$$\int f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x= f\bigl(g(x)\bigr)+c
$$
kphart
8-1-2024

Inhoud berekenen

x=2+λ, y=1+2λ, met λ ϵ [-2, 1] inhoud berekenen
Nico
17-3-2024

Antwoord

De inhoud is gelijk aan nul, want je beschrijft een lijnstukje in het platte vlak.
kphart
17-3-2024

Parametrisatie voor lijnintegraal

Beste

In de bijlage ziet u de vraag waar ik moeilijkheden mee heb. Deze lijkt mij het makkelijkst oplosbaar door de formule $\smallint $ f(x,y,z)ds = $\smallint $ f(r(t))|dr/dt|dt. Maar hierbij moet ik deze gevraagde kromme parametriseren. Ik weet niet direct hoe ik hieraan moet beginnen. Ik kwam r(t) = ti + tj - tk uit maar dit komt niet overeen met het punt (3, 1, -2). Dus ik weet niet hoe ik verder moet.
Alvast bedankt.

Mvg, Jacob
Jacob
26-3-2024

Antwoord

Probeer het eens met
$r(t)=3t\cdot\mathrm{i}+t\cdot\mathrm{j}-2t\cdot\mathrm{k}$ waarbij $0\le t\le1$.
Die moet het wel zijn want de oorsprong en $(3,1,-2)$ liggen op de snijlijn van de vlakken dus het verbindende kijnstuk ook.
kphart
26-3-2024

Oefening ijkingstoets ivm integralen

Beste

Kan iemand me helpen met het oplossen van volgend vraagstuk?

Over een continue functie ƒ : R → R is gegeven dat
- De integraal van 0 tot 1 van f(x) 8 is
- De integraal van 1 tot 2 van f(x) 2 is
- De integraal van 2 tot 4 van f(x) 4 is

Gevraagd:
Toon aan dat de integraal van 0 tot 2 van f(2x) gelijk aan 7 is.

Mvg
Stef
1-4-2024

Antwoord

Gebruik de substitutieregel om aan te tonen dat
$$
\int_0^2f(2x)\,\mathrm{d}x = \frac12\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x
$$
kphart
1-4-2024