WisFaq!

Examenvraag

hallo, ik heb eigenlijk veel moeite met dit integraal (1/(1-x)).( $\sqrt{}$ (x/1-x)dx, ik heb al geprobeerd om substitutie te doen op verschillende manieren maar ik kom altijd in dezelfde loop waar ik nooit op een uitkomst komt

Annick
2-1-2025

Antwoord

Zo te zien gaat het om
$$
\int\frac1{1-x}\cdot\sqrt{\frac{x}{1-x}}\,\mathrm{d}x
$$
Maak daar eens
$$
\int \sqrt{x}\cdot\frac1{(1-x)^{\frac32}}\,\mathrm{d}x
$$
van. Doe een stap partiële integratie:
$$
\sqrt{x}\cdot\frac2{\sqrt{1-x}}-\int\frac1{\sqrt{x}}\cdot\frac1{\sqrt{1-x}}\,\mathrm{d}x
$$
De overgebleven integraal wordt nu
$$
\int\frac1{\sqrt{x-x^2}}\,\mathrm{d}x
$$
Je kunt $x-x^2$ omschrijven tot $\frac14-(x-\frac12)^2$, en dan is het een kwestie van herkennen: iets als $1/\sqrt{a^2-x^2}$ heeft een primitieve waar de arcsinus in zit. In dit geval krijg je
$$
\int\frac1{\sqrt{x-x^2}}\,\mathrm{d}x =\arcsin(2x-1)
$$
Bij elkaar genomen krijgen we dus
$$
2\sqrt{\frac{x}{1-x}}-\arcsin(2x-1)
$$

kphart
3-1-2025