De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Bewijzen

Re: Bewijs dat een orthogonaal complement een deelruimte is

beste,

bedankt, maar ik weet de eisen van een deelruimte maar ik begrijp niet goed hoe je die hier moet toepassen om dit te bewijzen.

jen
3-1-2021

Antwoord

Printen
Niet toepassen maar nagaan.
  1. Er geldt $\mathbf{0}\in W^\perp$, want ...
  2. Als $u,v\in W^\perp$ dan $u+v\in W^\perp$ want ...
  3. Als $u\in W^\perp$ en $\lambda\in\mathbb{R}$ dan $\lambda u\in W^\perp$ want ...
Bijvoorbeeld voor de nulvector $\mathbf{0}$: je moet nagaan of $\mathbf{0}\cdot w=0$ voor alle $w\in W$; en ... geldt dat?

kphart
4-1-2021


Hexagon stelling van Pappos

Om de stelling van Pappos te bewijzen (hexagon stelling) is de stelling van Menelaos noodzakelijk. Is er ook een omgekeerde stelling van Pappos en is deze geldig?

Studen
5-1-2021

Antwoord

Printen
Beste,

Het omgekeerde van de stelling van Pappos is niet geldig. Dat komt doordat de stelling van Pappos een bijzonder geval is van de stelling van Pascal, die gaat over een zeshoek in een kegelsnede (een tweetal lijnen is een "gedegenereerde" vorm van een kegelsnede).

Met vriendelijke groet,

Zie Wikipedia: Stelling van Pascal.

FvL
7-1-2021


Re: Re: Bewijs dat een orthogonaal complement een deelruimte is

Is dit dan juist?

1) want stel v=0 dan v.w=0.w=0 dus vector v=0 behoort tot de het orthogonaal complement

2)want als u,v behoren tot orthogonaal complement van W en w,z behoren tot W dan u.w + v.z=0+0=0 wat dus ook behoort tot het orthogonaal complement

3)want als u.w=0 dan is landa.(u.w)=landa.0=0 wat behoort tot het orthogonaal complement van W

Alvast bedankt!

Jen
8-1-2021

Antwoord

Printen
Bijna.
In 2) moet je alleen een $w$ bekijken: $u+v$ moet loodrecht staan op elke $w\in W$, dus moet je naar $(u+v)\cdot w$ kijken.
In 1), 2) en 3) moet er telkens "voor elke $w\in W$" bij.

kphart
8-1-2021


Re: Re: Positieve gehele getallen

Het lukt direct met alle eindcijfers ongelijk 9, maar lukt het ook voor getallen die op een 9 eindigen? Dan moet je met 16*n0 beginnen??

Lieke
7-2-2021

Antwoord

Printen
Schrijf je $n_0$ als $10m+9$ en vermenigvuldig met $16$, dan krijg je $160m+144$, en dat is $10(16m+14)+4$. Daar zie je $16m+14$ verschijnen, dat getal eindigt op een $0$, $2$, $4$, $6$, of $8$ en is dus maakbaar.

kphart
8-2-2021


Bewijs voor een som

Goeiedag,

Ik ben momenteel bezig met een opgave waarbij ik het volgende probeer te bewijzen:

$
\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {\matrix{
n \cr
k \cr

} } \right)} = n \cdot 2^{n - 1}
$

Een algebraïsch bewijs heb ik kunnen geven maar voor een combinatorisch bewijs zie ik niet waar ik kan beginnen. Ik zie wel een 'overeenkomst' met de driehoek van Laplace.

Albert
16-2-2021

Antwoord

Printen
Je kunt de som ook lezen als
$$\sum_{k=1}^nk\binom{n}{n-k}
$$De rechterkant kun je als volgt interpreteren: tel voor elke $i$ het aantal deelverzamelingen van $\{1,2,\dots,n\}\setminus\{i\}$ (alle deelverzamelingen waar $i$ niet in zit). Dat geeft $n$ keer $2^{n-1}$.

Kijk nu hoevaak de lege verzameling wordt geteld: $n$ keer, dat kun je schrijven als $n\cdot\binom{n}{0}=n\cdot\binom{n}{n-n}$.

Elke verzameling met één element wordt $n-1$ keer geteld, dat levert $(n-1)\cdot\binom{n}{1}=(n-1)\binom{n}{n-1}$.
Elke verzameling met $n-k$ elementen wordt $k$ keer geteld en dat geeft $k\cdot\binom{n}{n-k}$.

kphart
16-2-2021


Re: Bewijs voor een som

Het begin en het einde begrijp ik nu, dank daarvoor. Ik begrijp alleen niet helemaal waarom de lege verzameling n keer wordt geteld. De lege verzameling wordt toch alleen 1 keer geteld? Of zie ik iets over het hoofd.

Albert
19-2-2021

Antwoord

Printen
Alle deelverzamelingen van $\{1,2,\dots,n\}\setminus\{i\}$, daar hoort $\emptyset$ ook bij, en voor elke $i$ wordt deze dus een keer meegeteld.

kphart
19-2-2021


Zwaartelijnen gelijkvormigheid en stelling van Thales

Hans D
27-2-2021

Antwoord

Printen
Hallo Hans,

Laat me je een hint geven voor een hulplijn:

Trek de lijn door B evenwijdig met AC en laat G het snijpunt met DE zijn.
q91644img1.gif
Als je meer hulp nodig hebt, hoor ik het graag.

Met vriendelijke groet,

FvL
28-2-2021


Gelijkheid

Toon aan dat voor alle a, b, c van de positieve getallen uitgezonderd 0 geldt dat: a/bc + b/ca + c/ab groter of gelijk is aan 2/a + 2/b - 2/c. Voor welke waarden van a,b,c treedt de gelijkheid op?

kiara
8-3-2021

Antwoord

Printen
Merk op dat zowel a als b als c positief zijn en dus ook niet 0 mogen zijn.

Nu breng alles onder de noemer abc en kijk naar de tellers links en rechts.
De noemer (abc) kunnen we verder vergeten omdat alle getallen $>$ 0 zijn (gegeven), die noemer wordt dus niet negatief waardoor het teken zou kunnen omklappen.

Te bewijzen a2+b2+c2 $\ge$ 2bc + 2ac - 2ab.
Alles naar links brengen levert op
a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc $\ge$ 0

En nu moet je even doorhebben dat links een kwadratische vorm van drie termen (zelf ook even uitschrijven) staat die te schrijven is als:

(a+b-c)2 $\ge$ 0 En dat is natuurlijk altijd waar.

Hopelijk ben ik onderweg geen minnetje verloren, maar dit is het principe. Die andere vraag moet je nu zelf kunnen beantwoorden.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
9-3-2021


Olympiadeopdracht

Hi allemaal, zou iemand me alsjeblieft uit de brand kunnen helpen door deze opgave uit te werken? Ik heb namelijk geen idee hoe ik dit moet aanpakken.De opgave:

Laat ABC een driehoek met drie scherpe hoeken en een niet-gelijkbenige driehoek zijn, waarbij D een willekeurig punt op segment BC is. Neem E aan de kant AB en neem F aan de kant AC zodat ?DEB = ?DFC. De lijnen DF en DE snijden AB en AC respectievelijk in M en N.

Geef (I1) en (I2) aan als de omgeschreven cirkel van DEM en DFN. Laat (J1) de cirkel zijn die intern raakt aan (I1) bij D en ook raakt aan AB bij K en laat (J2) de cirkel zijn die intern raakt aan (I2) bij D en ook raakt aan AC bij H.

Geef P aan als het snijpunt van (I1) en (I2) dat verschilt van D en geef ook Q aan als het snijpunt van (J1) en (J2) dat verschilt van D.
  1. Bewijs dat de punten D, P en Q op één lijn liggen.
De omgeschreven cirkel van driehoek AEF snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek AHK en snijdt de lijn AQ bij G en L (G en L verschillen van A).
  1. Bewijs dat de raaklijn aan D van de omgeschreven cirkel van driehoek DQG de lijn EF snijdt in een bepaald punt dat op de omgeschreven cirkel van driehoek DLG ligt.

Koray
24-4-2021

Antwoord

Printen
Hallo Koray,

Ik ben wat terughoudend om antwoorden te geven die "olympiadeopdracht" heten en dus onderdeel van een wedstrijd lijken.

Laat me toch wat over vraag a. zeggen.

Merk op dat $\angle DEB=\angle DFC$ tot gevolg heeft dat EFMN een koordenvierhoek is. De macht van A ten opzichte van diens omgeschreven cirkel is $AE\cdot AM = AF \cdot AN$. Bijgevolg is de macht van A ten opzichte van $(I1)$ en $(I2)$ gelijk, en ligt A op hun machtlijn $DP$.

Bekijk nu de raaklijn aan $(I1)$ in $D$. Neem een punt $X$ op deze raaklijn, aan de andere kant van $BC$ dan $A$ ligt. Merk dan op dat $\angle MDX = \angle MED$ (omtrekshoeken van (I1)) en dat dus $DX$, de raaklijn, evenwijdig is aan $AC$ (F-hoeken). Iets dergelijks geldt uiteraard ook voor de raaklijn aan $(I2)$. Dat betekent dat de cirkel die raakt aan $AB$ in $K$ en ook raakt aan $AC$, deze laatste lijn raakt in $H$. Maar dat betekent dat $AK=AH$ (hier is nog wel wat redenering voor nodig die ik aan jou laat) en dat $A$ ten opzichte van $(J1)$ en $(J2)$ gelijk is, dus $A$ ligt op hun machtlijn $DQ$.

Ik heb me nog niet verdiept in b., maar misschien heb je nu voldoende uitgangspunten om zelf verder te gaan.

Met vriendelijke groet,

FvL
28-4-2021


De lengte van de paden

Flat A en flat B liggen aan dezelfde kant van een weg. De afstand van flat A tot de weg is 1 hectometer (= 100 meter) met AC=1. De afstand van flat B tot de weg is 2 hectometer met BD=2.

Verder is gegeven dat de afstand tussen C en D gelijk is aan 4 hectometer. Een busmaatschappij wil een bushalte plaatsen in een nog te kiezen punt E aan de weg. In het park dat tussen de flats A en B en de weg ligt, worden daarvoor twee rechte paden AE en BE aangelegd.

In deze opgave is x de afstand CE. De totale lengte van de aan te leggen paden AE en EB noemt men L.

Toon aan dat: L=√(x2+1) +√(x2-8x+20)

Swen
26-4-2021

Antwoord

Printen
Ik heb maar 's een tekening gemaakt:

q92048img1.gif

Ik zie dan twee rechthoekige driehoeken waar je de stelling van Pythagoras kan toepassen:

In $
\Delta ACE
$ weet je $AC=1$ en $CE=x$, dus $AE$=...
In $
\Delta ACE
$ weet je $DE=4-x$ en $BD=2$, dus $BE$=...

Zou het dan lukken?

WvR
26-4-2021


Re: De lengte van de paden

Het was bijna gelukt maar ik snap even niet meer hoe ze op die $-8x$ komen?

Swen
26-4-2021

Antwoord

Printen
Even de haakjes wegwerken:

$
\eqalign{
& BE = \sqrt {\left( {4 - x} \right)^2 + 2^2 } \cr
& BE = \sqrt {16 - 8x + x^2 + 4} \cr
& BE = \sqrt {x^2 - 8x + 20} \cr}
$

Toch?

WvR
26-4-2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3