Beste professor Hart,
Ik was aan het lezen over metriseerbaarheid en de stelling van Smirnov-Nagata en heel toevallig vond ik online een pdf-bestand waarin u deze stelling bewijst: https://fa.ewi.tudelft.nl/~hart/37/onderwijs/topologie/dictaat-vu-2002.pdf (dit is in hoofdstuk 9, stelling 9.16).
Ik heb 2 vragen hierbij:
1)In de opgave zegt u X is metriseerbaar als en slechts als X regulier is met een σ-lokaal eindige basis. Maar dan in het bewijs veronderstelt u dat X een T3-ruimte is dus regulier+T1 met een σ-lokaal eindige basis. Moest er in de opgave T3 staan?
2)Op het einde van het bewijs zegt u zij A gesloten en x niet in A, dan bestaan er B,W zodanig x $\in $ B $\subseteq $ sluiting(B) $\subseteq $ W $\subseteq $ X\A, waarom kunnen we zulke B,W vinden?
Alvast bedankt.
Rafik
16-2-2024
1) Zie pagina 37, in definitie 5.14 spreken we af dat regulier gelijk is aan $T_3+T_1$.
2) Zie ook pagina 37, Propositie 5.17: de $W$ is er omdat $\mathcal{B}$ een basis is en dan levert propositie 5.17 de kleinere $B$ (eerst een $V$ en dan weer een $B\in\mathcal{B}$).
kphart
16-2-2024
#98083 - Bewijzen - Student universiteit België