Deze som berust op een formule van Jacobi.
Het spoor van de inverse van A+xI is gelijk aan het spoor van de geadjugeerde van de matrix, gedeeld door de determinant (dat volgt uit de formula voor de inverse: de gadjugeerde gedeeld door de determinant).
In dit geval zegt de formule
\frac{d}{dx}\det (A+xI) = \operatorname{{}tr}\bigl(\operatorname{{}adj}(A+xI)\cdot\frac{d}{dx}(A+xI)\bigr)
en dat kun je omwerken tot
\operatorname{{}tr}\bigl(\operatorname{{}adj}(A+xI)\bigr)=\frac{d}{dx}\det (A+xI)
Het spoor van (A+xI)^{-1} is dus het quotient van die twee en dat zien er in het n\times n-geval uit als
\frac{nx^{n-1}+\cdots}{x^n+\cdots}
Als je jouw quotient in die vorm wilt brengen moet je met teller en noemer met x vermenigvuldigen:
\frac{4x^3-2x}{x^4-x^2}
Daaraan kun je dus zien dat n=2.
Als je zo'n A wilt maken moet je dus zorgen dat A eigenwaarden 1, -1 en 0 (dubbel) heeft. Daar is met wat proberen wel uit te komen denk ik.
Zie Wikipedia: Jacobi's formula
