WisFaq!

Spoor van een matrix

Een oude examenvraag luidt:

Voor een matrix A ∈ Cⁿ×n, n ≥ 1, blijkt te gelden dat het spoor tr((A + x · In)⁻¹) = 2·(2x²−1)/(x·(x²−1)) . Toon aan dat n = 4 en geef een voorbeeld van een dergelijke matrix waarvoor tr(A^T A) = 1.

• Examen E000124

Kan iemand me uitleggen hoe ik hieraan moet beginnen of me de naam van een handboek geven waar ik uitleg over dit soort oefeningen vind?
Bedankt!

Emma
30-5-2018

Antwoord

Deze som berust op een formule van Jacobi.

Het spoor van de inverse van $A+xI$ is gelijk aan het spoor van de geadjugeerde van de matrix, gedeeld door de determinant (dat volgt uit de formula voor de inverse: de gadjugeerde gedeeld door de determinant).

In dit geval zegt de formule
$$
\frac{d}{dx}\det (A+xI) =
\operatorname{{}tr}\bigl(\operatorname{{}adj}(A+xI)\cdot\frac{d}{dx}(A+xI)\bigr)
$$en dat kun je omwerken tot
$$
\operatorname{{}tr}\bigl(\operatorname{{}adj}(A+xI)\bigr)=\frac{d}{dx}\det (A+xI)
$$Het spoor van $(A+xI)^{-1}$ is dus het quotient van die twee en dat zien er in het $n\times n$-geval uit als
$$
\frac{nx^{n-1}+\cdots}{x^n+\cdots}
$$Als je jouw quotient in die vorm wilt brengen moet je met teller en noemer met $x$ vermenigvuldigen:
$$
\frac{4x^3-2x}{x^4-x^2}
$$Daaraan kun je dus zien dat $n=2$.

Als je zo'n $A$ wilt maken moet je dus zorgen dat $A$ eigenwaarden $1$, $-1$ en $0$ (dubbel) heeft. Daar is met wat proberen wel uit te komen denk ik.

Zie Wikipedia: Jacobi's formula [https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_formula]

kphart
31-5-2018