\require{AMSmath}

Spoor van een matrix

Een oude examenvraag luidt:

Voor een matrix A ∈ Cⁿ×n, n ≥ 1, blijkt te gelden dat het spoor tr((A + x · In)⁻¹) = 2·(2x²−1)/(x·(x²−1)) . Toon aan dat n = 4 en geef een voorbeeld van een dergelijke matrix waarvoor tr(A^T A) = 1.

• Examen E000124

Kan iemand me uitleggen hoe ik hieraan moet beginnen of me de naam van een handboek geven waar ik uitleg over dit soort oefeningen vind?
Bedankt!

Emma
Student universiteit België - woensdag 30 mei 2018

Antwoord

Deze som berust op een formule van Jacobi.

Het spoor van de inverse van $A+xI$ is gelijk aan het spoor van de geadjugeerde van de matrix, gedeeld door de determinant (dat volgt uit de formula voor de inverse: de gadjugeerde gedeeld door de determinant).

In dit geval zegt de formule
$$
\frac{d}{dx}\det (A+xI) =
\operatorname{{}tr}\bigl(\operatorname{{}adj}(A+xI)\cdot\frac{d}{dx}(A+xI)\bigr)
$$en dat kun je omwerken tot
$$
\operatorname{{}tr}\bigl(\operatorname{{}adj}(A+xI)\bigr)=\frac{d}{dx}\det (A+xI)
$$Het spoor van $(A+xI)^{-1}$ is dus het quotient van die twee en dat zien er in het $n\times n$-geval uit als
$$
\frac{nx^{n-1}+\cdots}{x^n+\cdots}
$$Als je jouw quotient in die vorm wilt brengen moet je met teller en noemer met $x$ vermenigvuldigen:
$$
\frac{4x^3-2x}{x^4-x^2}
$$Daaraan kun je dus zien dat $n=2$.

Als je zo'n $A$ wilt maken moet je dus zorgen dat $A$ eigenwaarden $1$, $-1$ en $0$ (dubbel) heeft. Daar is met wat proberen wel uit te komen denk ik.

Zie Wikipedia: Jacobi's formula

kphart
donderdag 31 mei 2018

©2001-2024 WisFaq