WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vereenvoudiging voor analytisch bewijs

Hoi, ik ben het weer hoor, gerrie

Ik ondervind zeer veel moeilijkheden bij het veréénvoudigen van goniometrische getallen. Als u zo vriendelijk zou willen zijn om dit met de nodige tussenstappen op te lossen:

De vraag:
In de toppen p en p' op de grote as van een ellips trekt men de topraaklijnen. Zij snijden een veranderlijke raaklijn aan E (verschillend van de topraaklijnen) in de punten q en q'.
Bewijs dat het produkt ||pq||·||p'q'|| constant is:

Men oplossing tot nu toe:

-p(a,0) p'(-a,0)
-raaklijn met parameters:
xcos(t)/a+ysin(t)/b=1
-Als l: uX+vY=w en P(A,B), dan
d(P,l) = |uA+vB-w|/Ö(u2+v2).
-Zo kom ik tot de vergelijking van de constante:
(1-cos(t))·(1+cos(t))/((cos(t)/a)²+(sin(t)/b)²)

Verder als dit geraak ik niet!
Ik ben er vrij zeker van nu dat ik de juiste formules heb gebruikt omdat het een constante betreft die gelijk blijft bij de verplaatsing van het raakpunt op de ellips rondom de omtrek hiervan.

Bedankt
gerrie
3de graad ASO - woensdag 6 mei 2009

Antwoord

Hallo

Je kunt dit eenvoudiger oplossen zonder goniometrische vergelijkingen.
p(a,0) en p'(-a,0)
Dan
q(a,y_q) en q'(-a,y_q')

De vergelijking van de raaklijn in een punt (x₀,y₀) van de ellips is :

^x₀.x/_a² + ^y₀.y/_b² = 1

y_q vind je door in deze vergelijking x te vervangen door a en
y_q' vind je door in deze vergelijking x te vervangen door -a

|pq| = y_q en |p'q'| = y_q'

Werk |pq|.|p'q'| uit en je zult dan de algemene vergelijking van de ellips in herkennen voor x=x₀ en y=y₀.

Je vindt dan : |pq|.|p'q'| = b²

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 6 mei 2009

Re: Vereenvoudiging voor analytisch bewijs