WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Onderzoek 4x(1-x)

Dit is een reactie op vraag 97626

Geachte,

Heel erg bedankt voor de uitleg.
Dus in de laatste stap is het de bedoeling om die hoek te vereenvoudigen, maar ik kom de volgende waarde uit: 147625π/186 uit. Hoe kan ik dit reduceren tot een hoek in de gegeven interval?

Alvast bedankt

Yosra
Yosra
Student universiteit België - dinsdag 14 maart 2023

Antwoord

Je kunt delen met rest: $147625=793\cdot186+127$, dus $\frac{147625}{186}\pi=793\pi+\frac{127}{186}\pi$. Gebruik dat $\sin^2x$ periodiek is met periode $\pi$, dus je hebt te maken met $\sin^2\frac{127}{186}\pi$ en dat is ook gelijk aan $\sin^2(\pi-\frac{127}{186}\pi)=\sin^2\frac{59}{186}\pi$.

Die periodiciteit kun je ook gebruiken om het rekenwerk te verminderen.
Je hebt je maken met
$$\left(\frac{2^n}3 +\frac{2^n}{31}+\frac{2^n}{32}\right)\pi
$$Vanaf $n=5$ is $2^n/32$ geheel, dus die kun je dan wegens de periodiciteit weglaten.

Voor $2^n/31$ geldt dat je maar vijf mogelijkheden hebt: $1/31$, $2/31$, $4/31$, $8/31$, $16/31$; dan krijg je $32/31=1+1/31$, en het hele deel kun je weglaten, dus heb je weer met $\frac1{31}\pi$ te maken.

Voor $2^n/3$ geldt dat je, na weglaten van het hele deel, beurtelings $2/3$ en $1/3$ krijgt.

In totaal is de rij dan vanaf $n=5$ periodiek met periode $10$ (het kleinste gemene veelvoud van $2$ en $5$).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 14 maart 2023