WisFaq!

Re: Re: Onderzoek 4x(1-x)

Geachte,

Heel erg bedankt voor de uitleg.
Dus in de laatste stap is het de bedoeling om die hoek te vereenvoudigen, maar ik kom de volgende waarde uit: 147625π/186 uit. Hoe kan ik dit reduceren tot een hoek in de gegeven interval?

Alvast bedankt

Yosra

Yosra
14-3-2023

Antwoord

Je kunt delen met rest: 147625=793\cdot186+127, dus \frac{147625}{186}\pi=793\pi+\frac{127}{186}\pi. Gebruik dat \sin^2x periodiek is met periode \pi, dus je hebt te maken met \sin^2\frac{127}{186}\pi en dat is ook gelijk aan \sin^2(\pi-\frac{127}{186}\pi)=\sin^2\frac{59}{186}\pi.

Die periodiciteit kun je ook gebruiken om het rekenwerk te verminderen.
Je hebt je maken met

\left(\frac{2^n}3 +\frac{2^n}{31}+\frac{2^n}{32}\right)\pi

Vanaf n=5 is 2^n/32 geheel, dus die kun je dan wegens de periodiciteit weglaten.

Voor 2^n/31 geldt dat je maar vijf mogelijkheden hebt: 1/31, 2/31, 4/31, 8/31, 16/31; dan krijg je 32/31=1+1/31, en het hele deel kun je weglaten, dus heb je weer met \frac1{31}\pi te maken.

Voor 2^n/3 geldt dat je, na weglaten van het hele deel, beurtelings 2/3 en 1/3 krijgt.

In totaal is de rij dan vanaf n=5 periodiek met periode 10 (het kleinste gemene veelvoud van 2 en 5).

kphart
14-3-2023