WisFaq!

Re: Re: Onderzoek 4x(1-x)

Geachte,

Heel erg bedankt voor de uitleg.
Dus in de laatste stap is het de bedoeling om die hoek te vereenvoudigen, maar ik kom de volgende waarde uit: 147625π/186 uit. Hoe kan ik dit reduceren tot een hoek in de gegeven interval?

Alvast bedankt

Yosra

Yosra
14-3-2023

Antwoord

Je kunt delen met rest: $147625=793\cdot186+127$, dus $\frac{147625}{186}\pi=793\pi+\frac{127}{186}\pi$. Gebruik dat $\sin^2x$ periodiek is met periode $\pi$, dus je hebt te maken met $\sin^2\frac{127}{186}\pi$ en dat is ook gelijk aan $\sin^2(\pi-\frac{127}{186}\pi)=\sin^2\frac{59}{186}\pi$.

Die periodiciteit kun je ook gebruiken om het rekenwerk te verminderen.
Je hebt je maken met
$$\left(\frac{2^n}3 +\frac{2^n}{31}+\frac{2^n}{32}\right)\pi
$$Vanaf $n=5$ is $2^n/32$ geheel, dus die kun je dan wegens de periodiciteit weglaten.

Voor $2^n/31$ geldt dat je maar vijf mogelijkheden hebt: $1/31$, $2/31$, $4/31$, $8/31$, $16/31$; dan krijg je $32/31=1+1/31$, en het hele deel kun je weglaten, dus heb je weer met $\frac1{31}\pi$ te maken.

Voor $2^n/3$ geldt dat je, na weglaten van het hele deel, beurtelings $2/3$ en $1/3$ krijgt.

In totaal is de rij dan vanaf $n=5$ periodiek met periode $10$ (het kleinste gemene veelvoud van $2$ en $5$).

kphart
14-3-2023