|
|
|
\require{AMSmath}
Differentiaalvergelijkingen met homogene functies
xyy' + 2x-y2 = 0
Ik heb y door ux gesubstitueerd en kom dan tot hetvolgende voor integratie :
x / dx = 2/ du is dit juist en hoe moet het verder?
Thx
Quinte
Student universiteit België - woensdag 5 januari 2011
Antwoord
De dv kan men gedetailleerder opschrijven:
x·y(x)· dy(x)/dx + 2·x2 - y(x)2 = 0.
Substitueert men y(x) = x·u(x), dan krijgt men mbv de productregel:
x2·u(x)·(u(x) + x·du(x)/dx) + 2·x2 - x2·u(x)2 = 0,
en na deling door x2
u(x)·(u(x) + x·du(x)/dx) + 2 - u(x)2 = 0,
ofwel, kort opgeschreven
u(u + x·du/dx) + 2 - u2 = 0.
Na uitwerken wordt dit
u·x·du/dx + 2 = 0.
Scheid de variabelen. Er komt, in twee stappen
u·x·du/dx = -2,
u·du = (-2)·dx/x.
Dus u bent een minteken en een factor u kwijtgeraakt. Zorg verder dat du en dx in de teller staan.
Hoe gaat het verder?
Integreren levert in twee stappen
òu·du = (-2)òdx/x,
1/2·u2 = (-2)·ln(|x|) + C.
Met u = y/x komt er
1/2·y2/x2 = C - 2·ln(|x|),
en na vermenigvuldigen met 2·x2
y2 = 2·C·x2 - 4·x2·ln(|x|), dus
y = ±Ö(2·C·x2 - 4·x2·ln(|x|)).
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 6 januari 2011
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
