WisFaq!

Differentiaalvergelijkingen met homogene functies

xyy' + 2x-y² = 0

Ik heb y door ux gesubstitueerd en kom dan tot hetvolgende voor integratie :
x / dx = 2/ du is dit juist en hoe moet het verder?

Thx

Quinten
5-1-2011

Antwoord

De dv kan men gedetailleerder opschrijven:
x·y(x)· dy(x)/dx + 2·x² - y(x)² = 0.

Substitueert men y(x) = x·u(x), dan krijgt men mbv de productregel:

x²·u(x)·(u(x) + x·du(x)/dx) + 2·x² - x²·u(x)² = 0,

en na deling door x²

u(x)·(u(x) + x·du(x)/dx) + 2 - u(x)² = 0,

ofwel, kort opgeschreven

u(u + x·du/dx) + 2 - u² = 0.

Na uitwerken wordt dit

u·x·du/dx + 2 = 0.

Scheid de variabelen. Er komt, in twee stappen

u·x·du/dx = -2,

u·du = (-2)·dx/x.

Dus u bent een minteken en een factor u kwijtgeraakt. Zorg verder dat du en dx in de teller staan.

Hoe gaat het verder?
Integreren levert in twee stappen

òu·du = (-2)òdx/x,

¹/₂·u² = (-2)·ln(|x|) + C.

Met u = y/x komt er

¹/₂·y²/x² = C - 2·ln(|x|),

en na vermenigvuldigen met 2·x²

y² = 2·C·x² - 4·x²·ln(|x|), dus

y = ±Ö(2·C·x² - 4·x²·ln(|x|)).

hr
6-1-2011