De Poisson-verdeling is een limiet geval van de binomiale verdeling (n groot en np vast). De kans op een bepaalde gebeurtenis bereken je met de volgende formule:
$
\Large P(X = k) = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }}{{k!}}
$
Deze verdeling wordt alleen bepaald door de verwachtingswaarde $\lambda$. De standaardafwijking is gelijk aan de wortel uit de verwachtingswaarde.
$
\Large \sigma = \sqrt \lambda
$
Voorbeeld
Tabel 1
Aantal dodelijke ongelukken
veroorzaakt door een trap
van een paard
van 10 Pruisische legerkorpsen
in een periode van 20 jaar.
(1875-1894)
(L.v.Bortkiewicz,
Das Gesetz der kleinen Zahlen,
Leipzig, 1898) |
|
|
Aantal jaren met x doden per korps |
|
x |
Gemeten |
Berekend |
|
0 |
109 |
109 |
|
1 |
65 |
66 |
|
2 |
22 |
20 |
|
3 |
3 |
4 |
|
4 |
1 |
1 |
|
$>$5 |
0 |
0 |
In bovenstaande tabel wordt eerst het totaal aantal ongelukken met dodelijke afloop berekend, dat is 122 (65+2·22+3·3+4·1). Het totaal aantal jaren is 200. Dus de kans op een ongelukje met duidelijke afloop is 0,61. Je kunt dan de kansen berekenen met:
$
\Large P(X = k) = e^{ - 0,61} \cdot \frac{{0,61^k }}{{k!}}
$
|
Tabel 2 |
|
k |
P(X=k) |
|
0 |
0,543 |
|
1 |
0,331 |
|
2 |
0,101 |
|
3 |
0,021 |
|
4 |
0,003 |
|
$>$5 |
0,000 |
Vermenigvuldigen van de rechter kolom in tabel 2 met 200 levert de rechter kolom op in tabel 1.
Voorbeeld
Het aantal telefoonoproepen per minuut bij de dienst "Inlichtingen" heeft een Poisson-verdeling tijdens de drukke uren. Als het gemiddeld aantal oproepen 5 per minuut bedraagt bereken dan de kans op 0,1,2,3 en meer dan 3 per minuut.
Uitwerking
Met $\lambda$=5 invullen in de formule
$
P(X = k) = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }}{{k!}}
$
kan je uitrekenen wat de kansen zijn op 0,1,2,3,.. per minuut.
P(X=0)=e-5·50/0!=0,0067
P(X=1)=e-5·51/1!=0,0337
P(X=2)=e-5·52/2!=0,0842
Enzovoort....
P(X>3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)
(antwoord: 0,735)
Voorbeeld
In een bepaald gebied zijn er gemiddeld 4 blikseminslagen per jaar. Bereken de kans op 0,1,2,3,4,5,6 en meer dan 6 blikseminslagen per jaar.
Uitwerking
Met $\lambda$=4 en de formule
$
P(X = k) = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }}{{k!}}
$
kan je de volgende kansen uitrekenen:
P(X=0)=e-4·40/0!
P(X=1)=e-4·41/1!
P(X=2)=e-4·42/2!
P(X=3)=e-4·43/3!
P(X=4)=e-4·44/4!
P(X=5)=e-4·45/5!
P(X=6)=e-4·46/6!
...en P(X>6)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-P(6)
(antwoord: 0,111)
Poisson-verdeling
F.A.Q.
