6. Poisson-verdeling

De Poisson-verdeling is een limiet geval van de binomiale verdeling (n groot en np vast). De kans op een bepaalde gebeurtenis bereken je met de volgende formule:

$
\Large P(X = k) = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }}{{k!}}
$

Deze verdeling wordt alleen bepaald door de verwachtingswaarde $\lambda$. De standaardafwijking is gelijk aan de wortel uit de verwachtingswaarde.

$
\Large \sigma = \sqrt \lambda
$

Voorbeeld

Tabel 1 Aantal dodelijke ongelukken veroorzaakt door een trap van een paard van 10 Pruisische legerkorpsen in een periode van 20 jaar. (1875-1894) (L.v.Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen, Leipzig, 1898)
	Aantal jaren met x doden per korps
x	Gemeten	Berekend
0	109	109
1	65	66
2	22	20
3	3	4
4	1	1
$>$5	0	0

In bovenstaande tabel wordt eerst het totaal aantal ongelukken met dodelijke afloop berekend, dat is 122 (65+2·22+3·3+4·1). Het totaal aantal jaren is 200. Dus de kans op een ongelukje met duidelijke afloop is 0,61. Je kunt dan de kansen berekenen met:

$
\Large P(X = k) = e^{ - 0,61} \cdot \frac{{0,61^k }}{{k!}}
$

Tabel 2
k	P(X=k)
0	0,543
1	0,331
2	0,101
3	0,021
4	0,003
$>$5	0,000

Vermenigvuldigen van de rechter kolom in tabel 2 met 200 levert de rechter kolom op in tabel 1.

Voorbeeld

Het aantal telefoonoproepen per minuut bij de dienst "Inlichtingen" heeft een Poisson-verdeling tijdens de drukke uren. Als het gemiddeld aantal oproepen 5 per minuut bedraagt bereken dan de kans op 0,1,2,3 en meer dan 3 per minuut.

Uitwerking

Met $\lambda$=5 invullen in de formule
$
P(X = k) = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }}{{k!}}
$
kan je uitrekenen wat de kansen zijn op 0,1,2,3,.. per minuut.

P(X=0)=e^-5·5⁰/0!=0,0067
P(X=1)=e^-5·5¹/1!=0,0337
P(X=2)=e^-5·5²/2!=0,0842
Enzovoort....

P(X>3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)
(antwoord: 0,735)

Voorbeeld

In een bepaald gebied zijn er gemiddeld 4 blikseminslagen per jaar. Bereken de kans op 0,1,2,3,4,5,6 en meer dan 6 blikseminslagen per jaar.

Uitwerking

Met $\lambda$=4 en de formule
$
P(X = k) = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }}{{k!}}
$
kan je de volgende kansen uitrekenen:

P(X=0)=e^-4·4⁰/0!
P(X=1)=e^-4·4¹/1!
P(X=2)=e^-4·4²/2!
P(X=3)=e^-4·4³/3!
P(X=4)=e^-4·4⁴/4!
P(X=5)=e^-4·4⁵/5!
P(X=6)=e^-4·4⁶/6!

...en P(X>6)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-P(6)
(antwoord: 0,111)

Poisson-verdeling

$\lambda$=
k=
P(X=k)=
P(X<=k)=
P(X>k)=

Zie ook:

• Lesbrief Poisson verdeling
  Verkorte route Zebraboekje

F.A.Q.

• Poisson-verdeling
• Poisson-verdeling
• Telefooncentrale
• Huizen door brand vernield
• Kerncentrales
• Poisson-verdeling
• Poisson-verdeling
• Afleiding van de Poissonverdeling
• Poissonverdeling en exacte waarde berekening
• Vraagstuk met Poisonverdeling

©2004-2024 WisFaq