Loading jsMath...



Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

3. Partieel integreren

Deze methode is afgeleid van de productregel.

Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:

\int {f(x)g'\left( x \right)} \,dx = f\left( x \right) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx}

Ook wel:

\int {f(x)dg(x) = f\left( x \right)g(x) - \int {g(x)df\left( x \right)} }

Voorbeeld 1

\int {x \cdot \ln (x)\,dx = \int {\ln (x) \cdot x\,\,dx = \ln (x) \cdot \frac{1} {2}} } x^2  - \int {\frac{1} {2}} x^2  \cdot \frac{1} {x}\,dx = \frac{1} {2}x^2 \ln (x) - \frac{1} {4}x^2

Voorbeeld 2

\int {x \cdot e^x } dx = x \cdot e^x  - \int {e^x  \cdot 1\,dx = x \cdot e^x }  - e^x  = (x - 1) \cdot e^x

Voorbeeld 3

\int {x^2  \cdot e^x } dx = x^2  \cdot e^x  - \int {e^x  \cdot 2x\,dx}

Voor dit laatste geldt:

\eqalign{   & \int {e^x  \cdot 2x\,dx}  = 2x \cdot e^x  - \int {e^x }  \cdot 2\,dx = 2x \cdot e^x  - 2e^x   \cr}

Dus:

\int {x^2  \cdot e^x } dx = x^2  \cdot e^x  - \left( {2x \cdot e^x  - 2e^x } \right) = \left( {x^2  - 2x + 2} \right) \cdot e^x

Voorbeeld 4

\int {\ln (x)\,dx = \int {\ln (x)} }  \cdot 1\,dx = \ln (x) \cdot x - \int {x \cdot \frac{1} {x}} \,dx = x\ln (x) - \int {1\,dx = x\ln (x) - x}  

Voorbeeld 5

\eqalign{   & \int {\frac{{\ln \left( x \right)}} {{x^2 }}} dx = \int {\ln \left( x \right)}  \cdot \frac{1} {{x^2 }}dx = \ln \left( x \right) \cdot \frac{{ - 1}} {x} - \int {\frac{{ - 1}} {x} \cdot \frac{1} {x}} dx =  - \frac{{\ln \left( x \right)}} {x} - \frac{1} {x} + C  \cr   & \int\limits_{x = 1}^e {\frac{{\ln \left( x \right)}} {{x^2 }}} dx = \left[ { - \frac{{\ln \left( x \right)}} {x} - \frac{1} {x}} \right]_1^e  =  - \frac{{\ln \left( e \right)}} {e} - \frac{1} {e} - \left( { - \frac{{\ln \left( 1 \right)}} {1} - \frac{1} {1}} \right) =  - \frac{2} {e} + 1 = \frac{{e - 2}} {e} \cr}

Voorbeeld 6

\int {\sin (x) \cdot e^x } dx = \sin (x) \cdot e^x  - \int {e^x  \cdot \cos (x)\,dx}

Dat schiet niet op?

\int {e^x  \cdot \cos (x)\,dx}  = \cos (x) \cdot e^x  - \int {e^x  \cdot  - \sin (x)\,dx = } \cos (x) \cdot e^x  + \int {e^x  \cdot \sin (x)} \,dx

Lekker...:-)

\int {\sin (x) \cdot e^x } dx = \sin (x) \cdot e^x  - \cos (x) \cdot e^x  - \int {e^x  \cdot \sin (x)} \,dx

Alhoewel:

\eqalign{   & 2 \cdot \int {\sin (x) \cdot e^x } dx = \sin (x) \cdot e^x  - \cos (x) \cdot e^x   \cr   & \int {\sin (x) \cdot e^x } dx = \frac{1} {2}e^x \left( {\sin (x) - \cos (x)} \right) \cr}

F.A.Q.

Tips


©2004-2025 WisFaq