\require{AMSmath}

2. Voor de hand liggende oplossingen

Gegeven: $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $

Voor de hand liggende oplossingen zijn er drie gevallen te onderscheiden:

  • Als $a+b+c+d+e=0$
    Je weet dan dat $x=1$ een oplossing is.
  • Als $a+c+e=b+d$
    Je weet dan dat $x=-1$ een oplossing is.
  • Als $b=k·a$,  $c=0$ en $e=k·d$
    Je weet dan dat $x=-k$ een oplossing is.

Voorbeeld 1

Los op: $
x^4  - 6x^3  - 4x^2  + 54x - 45 = 0
$

Er geldt: $1+-6+-4+54+-45=0$, dus je weet dat $x=1$ een oplossing is dus je kunt ontbinden met $x-1$. Dat geeft de volgende uitwerking:

Uitwerking

$
\eqalign{
  & x^4  - 6x^3  - 4x^2  + 54x - 45 = 0  \cr
  & \left( {x - 1} \right)\left( {x^3  - 5x^2  - 9x + 45} \right) = 0  \cr
  & x = 1 \vee x^3  - 5x^2  - 9x + 45 = 0  \cr
  & noot:  \cr
  & x^3  - 5x^2  - 9x + 45 = 0  \cr
  & p =  - \frac{{52}}
{3}  \cr
  & q = \frac{{560}}
{{27}}  \cr
  & W = \frac{{32i\sqrt 3 }}
{3}  \cr
  & x = 5  \cr
  & dus:  \cr
  & x = 1 \vee \left( {x - 5} \right)\left( {x^2  - 9} \right) = 0  \cr
  & x = 1 \vee x = 5 \vee x =  - 3 \vee x = 3 \cr}
$

Voorbeeld 2

Los op: $
x^4  - 4x^3  - 14x^2  + 36x + 45 = 0
$

Er geldt: $1-14+45=-4+36$, dus je weet dan $x=-1$ een oplossing is. Je kunt ontbinden met $x+1)$. Dit geeft de volgende uitwerking:

Uitwerking

$
\eqalign{
  & x^4  - 4x^3  - 14x^2  + 36x + 45 = 0  \cr
  & \left( {x + 1} \right)\left( {x^3  - 5x^2  - 9x + 45} \right) = 0  \cr
  & \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 9} \right)^2  = 0  \cr
  & x =  - 1 \vee x = 5 \vee x =  - 3 \vee x = 3 \cr}
$

Voorbeeld 3

Los op: $
x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0
$

Uitwerking

In 't algemeen:

$
\eqalign{
  & ax^4  + akx^3  + dx + dk =   \cr
  & ax^3 (x + k) + d(x + k) =   \cr
  & \left( {ax^3  + d} \right)(x + k) \cr}
$

In dit geval:

$
\eqalign{
  & x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0  \cr
  & a = 1  \cr
  & b = 2  \cr
  & c = 0  \cr
  & d = 3  \cr
  & e = 6  \cr
  & k = 2  \cr
  & x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0  \cr
  & \left( {x^3  + 3} \right)(x + 2) = 0  \cr
  & x = \root 3 \of 3  \vee x =  - 2 \cr}
$

Opgelost...


©2004-2022 WisFaq