2. Voor de hand liggende oplossingen

Gegeven: ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

Voor de hand liggende oplossingen zijn er drie gevallen te onderscheiden:

• Als a+b+c+d+e=0
  Je weet dan dat x=1 een oplossing is.
• Als a+c+e=b+d
  Je weet dan dat x=-1 een oplossing is.
• Als b=k·a,  c=0 en e=k·d
  Je weet dan dat x=-k een oplossing is.

Voorbeeld 1

Los op: x^4  - 6x^3  - 4x^2  + 54x - 45 = 0

Er geldt: 1+-6+-4+54+-45=0, dus je weet dat x=1 een oplossing is dus je kunt ontbinden met x-1. Dat geeft de volgende uitwerking:

Uitwerking

\eqalign{   & x^4  - 6x^3  - 4x^2  + 54x - 45 = 0  \cr   & \left( {x - 1} \right)\left( {x^3  - 5x^2  - 9x + 45} \right) = 0  \cr   & x = 1 \vee x^3  - 5x^2  - 9x + 45 = 0  \cr   & noot:  \cr   & x^3  - 5x^2  - 9x + 45 = 0  \cr   & p =  - \frac{{52}} {3}  \cr   & q = \frac{{560}} {{27}}  \cr   & W = \frac{{32i\sqrt 3 }} {3}  \cr   & x = 5  \cr   & dus:  \cr   & x = 1 \vee \left( {x - 5} \right)\left( {x^2  - 9} \right) = 0  \cr   & x = 1 \vee x = 5 \vee x =  - 3 \vee x = 3 \cr}

Voorbeeld 2

Los op: x^4  - 4x^3  - 14x^2  + 36x + 45 = 0

Er geldt: 1-14+45=-4+36, dus je weet dan x=-1 een oplossing is. Je kunt ontbinden met x+1). Dit geeft de volgende uitwerking:

Uitwerking

\eqalign{   & x^4  - 4x^3  - 14x^2  + 36x + 45 = 0  \cr   & \left( {x + 1} \right)\left( {x^3  - 5x^2  - 9x + 45} \right) = 0  \cr   & \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 9} \right)^2  = 0  \cr   & x =  - 1 \vee x = 5 \vee x =  - 3 \vee x = 3 \cr}

Voorbeeld 3

Los op: x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0

Uitwerking

In 't algemeen:

\eqalign{   & ax^4  + akx^3  + dx + dk =   \cr   & ax^3 (x + k) + d(x + k) =   \cr   & \left( {ax^3  + d} \right)(x + k) \cr}

In dit geval:

\eqalign{   & x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0  \cr   & a = 1  \cr   & b = 2  \cr   & c = 0  \cr   & d = 3  \cr   & e = 6  \cr   & k = 2  \cr   & x^4  + 2x^3  + 3x + 6 = 0  \cr   & \left( {x^3  + 3} \right)(x + 2) = 0  \cr   & x = \root 3 \of 3  \vee x =  - 2 \cr}

Opgelost...

©2004-2025 WisFaq