WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oneindige reeks functiebenadering

Nadat ik het boek over de Riemann-Hypothese heb gelezen ben ik heel geïnteresseerd in oneindige reeksen en hun uitkomsten; Nadat ik een paar berekeningen heb gemaakt met de functie f(n)= $\sum $ ^{$\infty $}_k=1^kⁿ/_k! ontdekte ik een eigenaardige reeks van getallen (die allemaal veelvouden van e waren!): 1e, 2e, 5e, 15e, 52e, ... Ik heb eigenlijk 2 vragen: Hoe komt het dat het veelvouden van e zijn en is er een functie die dit kan benaderen?

Alvast bedankt voor uw antwoord!
Oliver Ruiz Lopez
1ste graad ASO-TSO-BSO - zaterdag 20 april 2024

Antwoord

Dat $\mathrm{e}$ tevoorschijn komt is geen grote verrassing als je de reeks voor dat getal kent:
$$\mathrm{e}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}
$$Dus voor jouw functie geldt $f(0)=\mathrm{e}-1$, en
$$f(1) = \sum_{k=1}^\infty\frac{k}{k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}
=\mathrm{e}
$$In het algemeen kun je $f(n+1)$ in de eerdere waarden uitdrukken: via $k^{n+1}/k!=k^n/(k-1)!$ kom je op
$$f(n+1)=\sum_{k=1}^\infty\frac{k^n}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+1)^n}{k!}
$$Gebruik nu de binomiaalformule
$$(k+1)^n=\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}k^l
$$Dan komt er
$$\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}\frac{k^l}{k!}
$$en daar maak je van
$$\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{k^l}{k!}\right)
$$Even opletten: bij $l=0$ loopt $k$ echt van $0$ tot $\infty$; als $l>0$ dan is $\frac{0^l}{0!}$ gelijk aan $0$, en loopt $k$ eigenlijk van $1$ tot $\infty$.
Wat je uiteindelijk krijgt is dan:
$$f(n+1)=\mathrm{e} + \sum_{l=1}^n\binom{n}{l}f(l)
$$Hieruit volgt dat elke waarde van $f$ een veelvoud van $\mathrm{e}$ is.

Er geldt $f(n)=B(n)\cdot \mathrm{e}$, waarbij $B(n)$ het $n$-de Bell-getal is. De link verwijst naar een heleboel informatie over die rij (maar geeft geen mooie expliciete formule).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 20 april 2024