Dat \mathrm{e} tevoorschijn komt is geen grote verrassing als je de reeks voor dat getal kent:
\mathrm{e}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}
Dus voor jouw functie geldt f(0)=\mathrm{e}-1, en
f(1) = \sum_{k=1}^\infty\frac{k}{k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!} =\mathrm{e}
In het algemeen kun je f(n+1) in de eerdere waarden uitdrukken: via k^{n+1}/k!=k^n/(k-1)! kom je op
f(n+1)=\sum_{k=1}^\infty\frac{k^n}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+1)^n}{k!}
Gebruik nu de binomiaalformule
(k+1)^n=\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}k^l
Dan komt er
\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}\frac{k^l}{k!}
en daar maak je van
\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{k^l}{k!}\right)
Even opletten: bij l=0 loopt k echt van 0 tot \infty; als l>0 dan is \frac{0^l}{0!} gelijk aan 0, en loopt k eigenlijk van 1 tot \infty.
Wat je uiteindelijk krijgt is dan:
f(n+1)=\mathrm{e} + \sum_{l=1}^n\binom{n}{l}f(l)
Hieruit volgt dat elke waarde van f een veelvoud van \mathrm{e} is.
Er geldt f(n)=B(n)\cdot \mathrm{e}, waarbij B(n) het n-de Bell-getal is. De link verwijst naar een heleboel informatie over die rij (maar geeft geen mooie expliciete formule).
kphart
zaterdag 20 april 2024
