WisFaq!

Oneindige reeks functiebenadering

Nadat ik het boek over de Riemann-Hypothese heb gelezen ben ik heel geïnteresseerd in oneindige reeksen en hun uitkomsten; Nadat ik een paar berekeningen heb gemaakt met de functie f(n)= $\sum $ ^{$\infty $} _k=1^kn/_k! ontdekte ik een eigenaardige reeks van getallen (die allemaal veelvouden van e waren!): 1e, 2e, 5e, 15e, 52e, ... Ik heb eigenlijk 2 vragen: Hoe komt het dat het veelvouden van e zijn en is er een functie die dit kan benaderen?

Alvast bedankt voor uw antwoord!

Oliver Ruiz Lopez
20-4-2024

Antwoord

Dat $\mathrm{e}$ tevoorschijn komt is geen grote verrassing als je de reeks voor dat getal kent:
$$\mathrm{e}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}
$$Dus voor jouw functie geldt $f(0)=\mathrm{e}-1$, en
$$f(1) = \sum_{k=1}^\infty\frac{k}{k!}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}
=\mathrm{e}
$$In het algemeen kun je $f(n+1)$ in de eerdere waarden uitdrukken: via $k^{n+1}/k!=k^n/(k-1)!$ kom je op
$$f(n+1)=\sum_{k=1}^\infty\frac{k^n}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(k+1)^n}{k!}
$$Gebruik nu de binomiaalformule
$$(k+1)^n=\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}k^l
$$Dan komt er
$$\sum_{k=0}^\infty\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}\frac{k^l}{k!}
$$en daar maak je van
$$\sum_{l=0}^n\binom{n}{l}\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{k^l}{k!}\right)
$$Even opletten: bij $l=0$ loopt $k$ echt van $0$ tot $\infty$; als $l>0$ dan is $\frac{0^l}{0!}$ gelijk aan $0$, en loopt $k$ eigenlijk van $1$ tot $\infty$.
Wat je uiteindelijk krijgt is dan:
$$f(n+1)=\mathrm{e} + \sum_{l=1}^n\binom{n}{l}f(l)
$$Hieruit volgt dat elke waarde van $f$ een veelvoud van $\mathrm{e}$ is.

Er geldt $f(n)=B(n)\cdot \mathrm{e}$, waarbij $B(n)$ het $n$-de Bell-getal is. De link verwijst naar een heleboel informatie over die rij (maar geeft geen mooie expliciete formule).

kphart
20-4-2024