WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Particuliere oplossing DV

Goede dag,
Voor welke waarde van r kan de Euler DV : x²y'+xy'-y=x^r opgelost worden door gebruik te maken van x=e^z en geef de oplossing voor deze DV in het interval
(0,oneindig)
Yh= zou dan moeten zijn :
y=C(1)e^z+C(2)e^-z of
y= C(1)x+C(2)/x
Ik had gedacht aan y(p)= Axe^rz
Want x=e^z en x^r= e^(z)r.

y'(p)= Ae^rz+rAxe^rz
y'(p)= rAe^rz+r²axe^rz+rAxe^rz
Invullen geeft:
y'-y=e^rz
rAe^rz+r²Axe^rz+rAxe^rz-Axe^rz=e^rz
Wegdelen ven e^rz en opruimen eerste lid geeft
rA+r²Ax+rAx-rAx=1
Ar²x+rA-1=0
r(1,2)als wortel geven dan:
r(1,2)=(-A±√(A²+4A))/2A
Ik denk dat het niet de juiste oplossing is omdat de wortels mij wat 'ingewikkeld' lijken
Vriendelijke groeten,
Rik
Rik Le
Iets anders - maandag 2 juli 2018

Antwoord

Er klopt, helaas, vrij veel niet:
De y_p is niet goed: je gebruikt x en z door elkaar; je werkt of in termen van x, en dan staat er Ax^{r+1}, of in termen van z, en dan staat er Ae^{(r+1)z}
Het differentieren gaat dus ook ook niet goed, weer omdat je x en z door elkaar gebruikt
In de vergelijking Ar^2x+A-1=0 zie ik een r, een A en een x; die x zie ik niet in de oplossing
In de differentiaalvergelijking is r gegeven, dus die hoeft niet bepaald te worden; de A is de onbekende in de particuliere oplossing die nog bepaald moet worden.
Het idee achter de opgave is dan je, net als in het antwoord op onderstaande vraag, x=e^z substitueert en de DV ombouwt tot een andere, in dit geval wordt dat
Y''(z)-Y(z)=e^{rz}
Je homogene oplossing klopt; voor de particuliere probeer je Ae^{rz} en na invullen komt er A(r^2-1)e^{rz}=e^{rz} en dat levert alleen iets op als r^2\neq1, dus als r\neq1 en r\neq-1. Voor r=1 en r=-1 moet je weer iets als Aze^{rz} proberen.

Overigens vind ik de vraag een beetje raar gesteld wat volgens mij kun je met de substitutie oplossingen vinden voor alle r.
Zie Oplossing DV met ln(x) functie

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 4 juli 2018

Re: Particuliere oplossing DV