WisFaq!

Particuliere oplossing DV

Goede dag,
Voor welke waarde van r kan de Euler DV : x²y'+xy'-y=x^r opgelost worden door gebruik te maken van x=e^z en geef de oplossing voor deze DV in het interval
(0,oneindig)
Yh= zou dan moeten zijn :
y=C(1)e^z+C(2)e^-z of
y= C(1)x+C(2)/x
Ik had gedacht aan y(p)= Axe^rz
Want x=e^z en x^r= e^(z)r.

y'(p)= Ae^rz+rAxe^rz
y'(p)= rAe^rz+r²axe^rz+rAxe^rz
Invullen geeft:
y'-y=e^rz
rAe^rz+r²Axe^rz+rAxe^rz-Axe^rz=e^rz
Wegdelen ven e^rz en opruimen eerste lid geeft
rA+r²Ax+rAx-rAx=1
Ar²x+rA-1=0
r(1,2)als wortel geven dan:
r(1,2)=(-Aħ√(A²+4A))/2A
Ik denk dat het niet de juiste oplossing is omdat de wortels mij wat 'ingewikkeld' lijken
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
2-7-2018

Antwoord

Er klopt, helaas, vrij veel niet:

• De $y_p$ is niet goed: je gebruikt $x$ en $z$ door elkaar; je werkt of in termen van $x$, en dan staat er $Ax^{r+1}$, of in termen van $z$, en dan staat er $Ae^{(r+1)z}$
  
• Het differentieren gaat dus ook ook niet goed, weer omdat je $x$ en $z$ door elkaar gebruikt
  
• In de vergelijking $Ar^2x+A-1=0$ zie ik een $r$, een $A$ en een $x$; die $x$ zie ik niet in de oplossing
  
• In de differentiaalvergelijking is $r$ gegeven, dus die hoeft niet bepaald te worden; de $A$ is de onbekende in de particuliere oplossing die nog bepaald moet worden.
  

Het idee achter de opgave is dan je, net als in het antwoord op onderstaande vraag, $x=e^z$ substitueert en de DV ombouwt tot een andere, in dit geval wordt dat
$$
Y''(z)-Y(z)=e^{rz}
$$Je homogene oplossing klopt; voor de particuliere probeer je $Ae^{rz}$ en na invullen komt er $A(r^2-1)e^{rz}=e^{rz}$ en dat levert alleen iets op als $r^2\neq1$, dus als $r\neq1$ en $r\neq-1$. Voor $r=1$ en $r=-1$ moet je weer iets als $Aze^{rz}$ proberen.

Overigens vind ik de vraag een beetje raar gesteld wat volgens mij kun je met de substitutie oplossingen vinden voor alle $r$.

Zie Oplossing DV met ln(x) functie [https://wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=86464]

kphart
4-7-2018