Goede dag, Voor welke waarde van r kan de Euler DV : x2y'+xy'-y=x^r opgelost worden door gebruik te maken van x=ez en geef de oplossing voor deze DV in het interval (0,oneindig) Yh= zou dan moeten zijn : y=C(1)ez+C(2)e-z of y= C(1)x+C(2)/x Ik had gedacht aan y(p)= Axe^rz Want x=ez en x^r= e^(z)r.
y'(p)= Ae^rz+rAxe^rz y'(p)= rAe^rz+r2axe^rz+rAxe^rz Invullen geeft: y'-y=e^rz rAe^rz+r2Axe^rz+rAxe^rz-Axe^rz=e^rz Wegdelen ven e^rz en opruimen eerste lid geeft rA+r2Ax+rAx-rAx=1 Ar2x+rA-1=0 r(1,2)als wortel geven dan: r(1,2)=(-Aħ√(A2+4A))/2A Ik denk dat het niet de juiste oplossing is omdat de wortels mij wat 'ingewikkeld' lijken Vriendelijke groeten, Rik
Rik Le
Iets anders - maandag 2 juli 2018
Antwoord
Er klopt, helaas, vrij veel niet:
De $y_p$ is niet goed: je gebruikt $x$ en $z$ door elkaar; je werkt of in termen van $x$, en dan staat er $Ax^{r+1}$, of in termen van $z$, en dan staat er $Ae^{(r+1)z}$
Het differentieren gaat dus ook ook niet goed, weer omdat je $x$ en $z$ door elkaar gebruikt
In de vergelijking $Ar^2x+A-1=0$ zie ik een $r$, een $A$ en een $x$; die $x$ zie ik niet in de oplossing
In de differentiaalvergelijking is $r$ gegeven, dus die hoeft niet bepaald te worden; de $A$ is de onbekende in de particuliere oplossing die nog bepaald moet worden.
Het idee achter de opgave is dan je, net als in het antwoord op onderstaande vraag, $x=e^z$ substitueert en de DV ombouwt tot een andere, in dit geval wordt dat $$ Y''(z)-Y(z)=e^{rz} $$Je homogene oplossing klopt; voor de particuliere probeer je $Ae^{rz}$ en na invullen komt er $A(r^2-1)e^{rz}=e^{rz}$ en dat levert alleen iets op als $r^2\neq1$, dus als $r\neq1$ en $r\neq-1$. Voor $r=1$ en $r=-1$ moet je weer iets als $Aze^{rz}$ proberen.
Overigens vind ik de vraag een beetje raar gesteld wat volgens mij kun je met de substitutie oplossingen vinden voor alle $r$.
Re: Particuliere oplossing DV 