WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs van de afgeleide van e^x

Beste,

Ik las al heel wat artikels van jullie door over de afgeleide van e^x, maar kom niet uit het bewijs dat we in de klas opstelden.

We hebben een functie $f(x)=a^x$ en zoeken dus een waarde van a zodat $f(x)=f'(x)$

Na uitwerken bekom ik dat $f'(x)=a$·lim (h$\to$ 0) (a^h - 1)/h. Om er voor te zorgen dat $f(x)=f'(x)$ moet dus lim (h$\to$ 0) (a^h - 1)/h = 1.

De uitwerking is dan:

lim (h$\to$ 0) (a^h - 1) = lim (h$\to$ 0) h
lim (h$\to$ 0) (a^h) = lim (h$\to$ 0) (1+h)
lim (h$\to$ 0) (a^h)^(1/h) = lim (h$\to$ 0) (1+h)^(1/h)

De laatste stap luidt dan:

e = lim (h$\to$ 0) (1+h)^(1/h) = 2,718...

De vraag is nu:

Waarom mag je van de voorlaatste naar de laatste stap overgaan?
a) Wat is het verband tussen lim (h$\to$ 0) (a^h)^(1/h) = lim (h$\to$ 0) (1+h)^(1/h) en e?
b)Waarom is lim (h$\to$ 0) (1+h)^(1/h) = 2,718...?
Lene
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 14 september 2016

Antwoord

Het hele bewijs rammelt aan alle kanten
Zeggen dat
$$
\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}h=1
$$
is zeker niet hetzelfde als zeggen dat
$$
\lim_{h\to0}a^h-1 = \lim_{h\to0} h
$$
De eerste gelijkheid geldt maar voor één $a$, namelijk $a=\mathrm{e}$; de tweede gelijkheid geldt voor alle $a$ want er staat gewoon $0=0$. De derde gelijkheid zegt $1=1$ (en geldt dus voor alle $a$). De vierde gelijkheid geldt weer voor één $a$ want er staat dan
$$
a=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}
$$
(want $(a^h)^{\frac1h}=a$ en $\lim_{h\to0}a=a$).
Verder is vast niet goed afgesproken hoe dingen als $a^h$ en $(1+h)^{\frac1h}$ netjes gedefinieerd zijn.
Maar als alles goed gedefinieerd zou zijn zou je als volgt kunnen werken:
schrijf
$$
\varepsilon(h)=\frac{a^h-1}{h}-1
$$
Dan willen we dus $\lim_{h\to0}\varepsilon(h)=0$; je kunt de gelijkheid omwerken tot
$$
a=\bigl(1+h(1+\varepsilon(h))\bigr)^{\frac1h}
$$
Je kunt dan laten zien dat
$$
\lim_{h\to0}\bigl(1+h(1+\varepsilon(h))\bigr)^{\frac1h}-(1+h)^{\frac1h}=0
$$
(dat vraagt nogal wat werk) en dan volgt dus dat $a$ gelijk moet zijn aan
$$
\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}
$$
Van die limiet kun je bewijzen dat hij bestaat en de waarde van die limiet is, per definitie, $\mathrm{e}$.
Door (heel) kleine waarden van $h$ in te vullen zul je zien dat de waarde van de limiet $2{,}71828\ldots$ is.

Zie Pythagoras: machtsverheffen

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 15 september 2016

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

Bewijs van de afgeleide van ex

Antwoord

Bewijs van de afgeleide van e^x