WisFaq!

Bewijs van de afgeleide van e^x

Beste,

Ik las al heel wat artikels van jullie door over de afgeleide van e^x, maar kom niet uit het bewijs dat we in de klas opstelden.

We hebben een functie $f(x)=a^x$ en zoeken dus een waarde van a zodat $f(x)=f'(x)$

Na uitwerken bekom ik dat $f'(x)=a$·lim (h$\to$ 0) (a^h - 1)/h. Om er voor te zorgen dat $f(x)=f'(x)$ moet dus lim (h$\to$ 0) (a^h - 1)/h = 1.

De uitwerking is dan:

lim (h$\to$ 0) (a^h - 1) = lim (h$\to$ 0) h
lim (h$\to$ 0) (a^h) = lim (h$\to$ 0) (1+h)
lim (h$\to$ 0) (a^h)^(1/h) = lim (h$\to$ 0) (1+h)^(1/h)

De laatste stap luidt dan:

e = lim (h$\to$ 0) (1+h)^(1/h) = 2,718...

De vraag is nu:

Waarom mag je van de voorlaatste naar de laatste stap overgaan?
a) Wat is het verband tussen lim (h$\to$ 0) (a^h)^(1/h) = lim (h$\to$ 0) (1+h)^(1/h) en e?
b)Waarom is lim (h$\to$ 0) (1+h)^(1/h) = 2,718...?

Lene
14-9-2016

Antwoord

Het hele bewijs rammelt aan alle kanten
Zeggen dat
$$
\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}h=1
$$
is zeker niet hetzelfde als zeggen dat
$$
\lim_{h\to0}a^h-1 = \lim_{h\to0} h
$$
De eerste gelijkheid geldt maar voor één $a$, namelijk $a=\mathrm{e}$; de tweede gelijkheid geldt voor alle $a$ want er staat gewoon $0=0$. De derde gelijkheid zegt $1=1$ (en geldt dus voor alle $a$). De vierde gelijkheid geldt weer voor één $a$ want er staat dan
$$
a=\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}
$$
(want $(a^h)^{\frac1h}=a$ en $\lim_{h\to0}a=a$).
Verder is vast niet goed afgesproken hoe dingen als $a^h$ en $(1+h)^{\frac1h}$ netjes gedefinieerd zijn.
Maar als alles goed gedefinieerd zou zijn zou je als volgt kunnen werken:
schrijf
$$
\varepsilon(h)=\frac{a^h-1}{h}-1
$$
Dan willen we dus $\lim_{h\to0}\varepsilon(h)=0$; je kunt de gelijkheid omwerken tot
$$
a=\bigl(1+h(1+\varepsilon(h))\bigr)^{\frac1h}
$$
Je kunt dan laten zien dat
$$
\lim_{h\to0}\bigl(1+h(1+\varepsilon(h))\bigr)^{\frac1h}-(1+h)^{\frac1h}=0
$$
(dat vraagt nogal wat werk) en dan volgt dus dat $a$ gelijk moet zijn aan
$$
\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}
$$
Van die limiet kun je bewijzen dat hij bestaat en de waarde van die limiet is, per definitie, $\mathrm{e}$.
Door (heel) kleine waarden van $h$ in te vullen zul je zien dat de waarde van de limiet $2{,}71828\ldots$ is.

Zie Pythagoras: machtsverheffen [http://fa.its.tudelft.nl/~hart/37/stukjes-pythagoras/jg45/2006-01-machten.pdf]

kphart
15-9-2016