WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Vraag vectoren: uitproduct

Dit is een reactie op vraag 76793

Bedankt voor het antwoord, maar hoe wordt uit deze vraagstelling duidelijk welk parallellogram bedoeld wordt. (Het antwoord is |a • (b × c)|) waarom juist dit parallellogram opgespannen door vector b en c?
oscar
Student universiteit - donderdag 12 november 2015

Antwoord

Hallo Oscar,

Het maakt niet uit of je berekent:
|a•(b×c)| of |b•(a×c)| of |c•(a×b)|,
je vindt steeds dezelfde uitkomst. Dit is als volgt in te zien:

Beschouw het parallellogram opgespannen door b en c als grondvlak van je parallellepipedum. b×c is een vector ter grootte van de oppervlakte van dit grondvlak, en in de richting loodrecht op dit grondvlak. Dit is dus in de richting van de hoogte.

Het inproduct van a met b×c heeft als waarde:
(lengte a)·(lengte (b×c))·(cosinus van de ingesloten hoek).

Nu is (lengte a)·(cosinus ingesloten hoek) de component van a in de richting van (b×c), dus de component van a loodrecht op het grondvlak. Dit is dus de hoogte van je parallellepipedum. a•(b×c) is zodoende niets anders dan:
hoogte×oppervlakte grondvlak, dit is de formule om de inoud van een parallellepipedum te berekenen.

Wanneer je het parallellepipedum op een ander vlak legt, bv opgespannen door a en c, dan is (a×c) de oppervlakte van het grondvlak en b•(a×c) de formule voor hoogte×oppervlakte grondvlak. Door het anders neerleggen van je parallellepipedum is de inhoud natuurlijk niet veranderd ...

De absoluut-strepen zijn nodig omdat de vector van het uitproduct niet noodzakelijk in de positieve richting staat van de bedoelde hoogte, deze vector kan ook 'naar beneden wijzen':
(bedenk: b×c = -c×b).
De keuze is willekeurig, alleen de lengte van de vector is van belang om de oppervlakte van het opgespannen parallellogram te berekenen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 12 november 2015