Re: Vraag vectoren: uitproduct

Dit is een reactie op vraag 76793

Bedankt voor het antwoord, maar hoe wordt uit deze vraagstelling duidelijk welk parallellogram bedoeld wordt. (Het antwoord is |a • (b × c)|) waarom juist dit parallellogram opgespannen door vector b en c?

oscar
Student universiteit - donderdag 12 november 2015

Antwoord

Hallo Oscar,

Het maakt niet uit of je berekent:
|a•(b×c)| of |b•(a×c)| of |c•(a×b)|,
je vindt steeds dezelfde uitkomst. Dit is als volgt in te zien:

Beschouw het parallellogram opgespannen door b en c als grondvlak van je parallellepipedum. b×c is een vector ter grootte van de oppervlakte van dit grondvlak, en in de richting loodrecht op dit grondvlak. Dit is dus in de richting van de hoogte.

Het inproduct van a met b×c heeft als waarde:
(lengte a)·(lengte (b×c))·(cosinus van de ingesloten hoek).

Nu is (lengte a)·(cosinus ingesloten hoek) de component van a in de richting van (b×c), dus de component van a loodrecht op het grondvlak. Dit is dus de hoogte van je parallellepipedum. a•(b×c) is zodoende niets anders dan:
hoogte×oppervlakte grondvlak, dit is de formule om de inoud van een parallellepipedum te berekenen.

Wanneer je het parallellepipedum op een ander vlak legt, bv opgespannen door a en c, dan is (a×c) de oppervlakte van het grondvlak en b•(a×c) de formule voor hoogte×oppervlakte grondvlak. Door het anders neerleggen van je parallellepipedum is de inhoud natuurlijk niet veranderd ...

De absoluut-strepen zijn nodig omdat de vector van het uitproduct niet noodzakelijk in de positieve richting staat van de bedoelde hoogte, deze vector kan ook 'naar beneden wijzen':
(bedenk: b×c = -c×b).
De keuze is willekeurig, alleen de lengte van de vector is van belang om de oppervlakte van het opgespannen parallellogram te berekenen.

donderdag 12 november 2015

©2001-2024 WisFaq