Bedankt voor het antwoord, maar hoe wordt uit deze vraagstelling duidelijk welk parallellogram bedoeld wordt. (Het antwoord is |a • (b × c)|) waarom juist dit parallellogram opgespannen door vector b en c?
oscar
Student universiteit - donderdag 12 november 2015
Antwoord
Hallo Oscar,
Het maakt niet uit of je berekent: |a•(b×c)| of |b•(a×c)| of |c•(a×b)|, je vindt steeds dezelfde uitkomst. Dit is als volgt in te zien:
Beschouw het parallellogram opgespannen door b en c als grondvlak van je parallellepipedum. b×c is een vector ter grootte van de oppervlakte van dit grondvlak, en in de richting loodrecht op dit grondvlak. Dit is dus in de richting van de hoogte.
Het inproduct van a met b×c heeft als waarde: (lengte a)·(lengte (b×c))·(cosinus van de ingesloten hoek).
Nu is (lengte a)·(cosinus ingesloten hoek) de component van a in de richting van (b×c), dus de component van a loodrecht op het grondvlak. Dit is dus de hoogte van je parallellepipedum. a•(b×c) is zodoende niets anders dan: hoogte×oppervlakte grondvlak, dit is de formule om de inoud van een parallellepipedum te berekenen.
Wanneer je het parallellepipedum op een ander vlak legt, bv opgespannen door a en c, dan is (a×c) de oppervlakte van het grondvlak en b•(a×c) de formule voor hoogte×oppervlakte grondvlak. Door het anders neerleggen van je parallellepipedum is de inhoud natuurlijk niet veranderd ...
De absoluut-strepen zijn nodig omdat de vector van het uitproduct niet noodzakelijk in de positieve richting staat van de bedoelde hoogte, deze vector kan ook 'naar beneden wijzen': (bedenk: b×c = -c×b). De keuze is willekeurig, alleen de lengte van de vector is van belang om de oppervlakte van het opgespannen parallellogram te berekenen.
Dit is een reactie op vraag 76793 
