WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Definitie afgeleide

Heb steeds alleen de antwoorden maar geen uitwerking hoe je zo een soort som op moet lossen.

Lim x$\to$0 (f(x+3)-f(3)/x) f(x)=5/x³
Het antwoord is: -5/27

Hopelijk kunnen jullie mij hiermee verder helpen!
Studen
Student universiteit - vrijdag 18 september 2015

Antwoord

Hallo Nina,

Het is een hoop cijferwerk...
De functie waarom het gaat, is:

f(x+3) betekent dat we (x+3) moeten invullen op de plaats waar x staat. We krijgen dan:

en zodoende:

We brengen de breuken onder één noemer, zodat we deze kunnen aftrekken:

In de teller werken we de haakjes weg, zodat we gelijksoortige termen 'bij elkaar kunnen nemen':

Het termen +27 en -27 zijn tegen elkaar weggevallen. Dit gebeurt eigenlijk altijd wanneer je de definitie invult van een afgeleide.

Nu gaan we de definitie van de afgeleide invullen:

Omdat de constante termen +27 en -27 zijn weggevallen, kunnen we teller en noemer delen door x:

Nu staat x niet meer in de noemer, zodat we voor x straffeloos 0 kunnen invullen om de limiet voor x naar 0 te bepalen:

Je ziet: een hoop cijferwerk, maar met netjes werken en stug volhouden kom je eruit.
OK zo?

PS: eigenlijk bepaal je f'(x) voor x=3. Volgens de rekenregels vind je voor f(x)=5x^-3 als afgeleide: f'(x)=-15x^-4. Als je invult x=3, dan vind je direct f'(3)=-5/27.
Ik ben ervan uitgegaan dat je dit antwoord moest afleiden met behulp van de definitie van de afgeleide, niet door het toepassen van rekenregels.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 18 september 2015