Definitie afgeleide

Heb steeds alleen de antwoorden maar geen uitwerking hoe je zo een soort som op moet lossen.

Lim x$\to$0 (f(x+3)-f(3)/x) f(x)=5/x³
Het antwoord is: -5/27

Hopelijk kunnen jullie mij hiermee verder helpen!

Studen
Student universiteit - vrijdag 18 september 2015

Antwoord

Hallo Nina,

Het is een hoop cijferwerk...
De functie waarom het gaat, is:



f(x+3) betekent dat we (x+3) moeten invullen op de plaats waar x staat. We krijgen dan:



en zodoende:



We brengen de breuken onder één noemer, zodat we deze kunnen aftrekken:



In de teller werken we de haakjes weg, zodat we gelijksoortige termen 'bij elkaar kunnen nemen':



Het termen +27 en -27 zijn tegen elkaar weggevallen. Dit gebeurt eigenlijk altijd wanneer je de definitie invult van een afgeleide.

Nu gaan we de definitie van de afgeleide invullen:



Omdat de constante termen +27 en -27 zijn weggevallen, kunnen we teller en noemer delen door x:



Nu staat x niet meer in de noemer, zodat we voor x straffeloos 0 kunnen invullen om de limiet voor x naar 0 te bepalen:



Je ziet: een hoop cijferwerk, maar met netjes werken en stug volhouden kom je eruit.
OK zo?

PS: eigenlijk bepaal je f'(x) voor x=3. Volgens de rekenregels vind je voor f(x)=5x^-3 als afgeleide: f'(x)=-15x^-4. Als je invult x=3, dan vind je direct f'(3)=-5/27.
Ik ben ervan uitgegaan dat je dit antwoord moest afleiden met behulp van de definitie van de afgeleide, niet door het toepassen van rekenregels.

vrijdag 18 september 2015

©2001-2024 WisFaq