|
|
|
\require{AMSmath}
Berekening tweede lid van een som
Goede avond,
Ik zou het tweede lid van deze som willen berekenen
a+1
å(2/(k2-1))
k=2
Ik dacht:
k=2 geeft 2/3
k=3 geeft ,1/4
k=4 geeft 2/15.....
k=a+1 geeft 2/(a+1)2-1= 2/a2+2a
De reeks wordt dan
Som= 2/3+1/4+2/15+.....+2/a2+2a
Maar deze som moet aan "iets" gelijk zijn...
En dan kan ik het bewijs geven via inductie dat dit tweede lid klopt.(via enkele stappen waarvan ik voorbeelden vond in College Algebra.
Wie helpt mij op weg ?
Groeten,
Rik
Rik Le
Iets anders - zaterdag 5 oktober 2013
Antwoord
Hoi Rik,
Wat je schrijft klopt gewoon helemaal. Misschien helpt het als je zegt wat je eigenlijk wilt bewijzen? Misschien bedoel je het volgende.
$
\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{2}{{k^2 - 1}}} \\
\frac{2}{{k^2 - 1}} = \frac{A}{{k + 1}}.\frac{B}{{k - 1}} \Rightarrow Ak - A + Bk + B = 2 \\
k(A + B) + B - A = 2 \Rightarrow \\
\left\{ \begin{array}{l}
A + B = 0 \\
B - A = 2 \\
\end{array} \right\}A = - 1 \to B = 1 \\
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{2}{{k^2 - 1}}} = \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{{k + 1}} = \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } } \\
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } = 1 + \frac{1}{2} + \sum\limits_{k = 4}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } = \\
\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{3}{2} - \left( {\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{{2n + 3}}{{(n + 1)(n + 2)}} \\
\\
\end{array}
$
DvL
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 5 oktober 2013
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
Re: Berekening tweede lid van een som