WisFaq!

Berekening tweede lid van een som

Goede avond,
Ik zou het tweede lid van deze som willen berekenen

a+1
å(2/(k²-1))
k=2
Ik dacht:
k=2 geeft 2/3
k=3 geeft ,1/4
k=4 geeft 2/15.....
k=a+1 geeft 2/(a+1)²-1= 2/a²+2a
De reeks wordt dan
Som= 2/3+1/4+2/15+.....+2/a²+2a
Maar deze som moet aan "iets" gelijk zijn...
En dan kan ik het bewijs geven via inductie dat dit tweede lid klopt.(via enkele stappen waarvan ik voorbeelden vond in College Algebra.
Wie helpt mij op weg ?
Groeten,
Rik

Rik Lemmens
5-10-2013

Antwoord

Hoi Rik,
Wat je schrijft klopt gewoon helemaal. Misschien helpt het als je zegt wat je eigenlijk wilt bewijzen? Misschien bedoel je het volgende.

$
\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{2}{{k^2 - 1}}} \\
\frac{2}{{k^2 - 1}} = \frac{A}{{k + 1}}.\frac{B}{{k - 1}} \Rightarrow Ak - A + Bk + B = 2 \\
k(A + B) + B - A = 2 \Rightarrow \\
\left\{ \begin{array}{l}
A + B = 0 \\
B - A = 2 \\
\end{array} \right\}A = - 1 \to B = 1 \\
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{2}{{k^2 - 1}}} = \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{{k + 1}} = \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } } \\
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } = 1 + \frac{1}{2} + \sum\limits_{k = 4}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} } = \\
\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{3}{2} - \left( {\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{{2n + 3}}{{(n + 1)(n + 2)}} \\
\\
\end{array}
$

DvL
5-10-2013