WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Oppervlakte-integraal over halve bol met divergentie theorie

Dit is een reactie op vraag 66072

Ahh oke... ik heb de stof weer helemaal door gelezen en denk dat ik het nu begrijp.

${\int{}}{\int{}}$s F n ds = ${\int{}}{\int{}}{\int{}}$e div F ds
${\int{}}{\int{}}$s F n ds = ${\int{}}{\int{}}$d F(r(phi,theta)) (rphi X rtheta) dA

Parameteriseren:

R(phi, theta) = (sin(phi)cos(theta), sin(phi)sin(theta),cos(phi))
Rphi X Rtheta = (sin²(phi)cos(theta), sin²(phi)sin(theta),cos(phi)sin(phi))

Vervolgens in F invullen

F(phi,theta) = (sin(phi),-sin(phi)cos(theta),cos(theta)¡Ì(1-sin²(phi)cos²(theta)-sin²(phi)sin²(phi)))
optimaliseren:

F(phi,theta) = (sin(phi),-sin(phi)cos(theta),cos²(phi))

F(phi,theta)¡¤(Rphi X Rtheta) = cos³(phi)sin(phi)

Nu integreren:

0$\leq$phi$\leq$pi/2
0$\leq$theta$\leq$2p

Klopt dit?

ziet er een stuk makkelijker uit dan als ik de divergentie theorie toepaste..
nu kan ik voor 'u' cos(phi) nemen en 'du' -sin(phi)

Jess
Student universiteit - donderdag 3 november 2011

Antwoord

Hallo, Jess.

Ja, het klopt nu, afgezien van betrekkelijke kleinigheden.
Zo kan het ook:
De vector (x,y,z) van de oorsprong naar een punt op de bol heeft lengte 1 en staat loodrecht op de bol, dus is de gezochte normaalvector.
Het inproduct van vectorveld F met de oppervlaktenormaal n is dus:
F.n = xy - yx + z²√(1-x²-y²).
Voor de punten op het oppervlak is dit gelijk aan
√(1-x²-y²)³,
want z = √(1-x²-y²).
Het oppervlakte-element is
√(1+z_x²+z_y²) dx dy =
1/(√(1-x²-y²)) dx dy.
Dus de flux van F door de halve bol wordt
$\int {\int_C{}}$(1-x²-y²) dx dy , waarbij C de cirkelschijf in het x,y-vlak onder de halve bol is.
Met poolcoördinaten wordt dit
$\int {\int_C{}}$ (1-r²) r dr dj = p/2.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 3 november 2011